Funktionen
Problemstellung — Wie definiert, stellt man Funktionen dar und nutzt sie zur Modellierung verschiedener Situationen in der 9. Klasse?
- Das Konzept der Funktion und das dazugehörige Vokabular verstehen: Bild, Urbild, Definitionsbereich.
- Das Bild einer Zahl anhand einer Formel, einer Tabelle oder eines Graphen berechnen.
- Eines oder mehrere Urbilder einer Zahl bestimmen.
- Eine einfache Funktion, insbesondere eine affine Funktion, grafisch darstellen.
- Die Veränderung einer Funktion ablesen und interpretieren.
Teil 1: Das Konzept der Funktion
Eine Funktion ordnet jeder Zahl x aus einer gegebenen Menge, dem sogenannten Definitionsbereich, genau eine Zahl zu, die mit f(x) bezeichnet wird. Diese Zahl nennt man das Bild von x durch die Funktion f.
Vokabular
- Urbild: Startwert, das ist der Wert von
x. - Bild: Das Ergebnis, also der Wert von
f(x). - Definitionsbereich: Menge aller Werte von
x, für die die Funktion definiert ist.
Für die Funktion f(x) = 2x + 3 gilt:
Man sagt, 11 ist das Bild von 4 durch die Funktion f. Man kann auch sagen, dass 4 ein Urbild von 11 für diese Funktion ist.
Definitionsbereich: Verbotene Werte
- Enthält eine Formel eine Division, darf nicht durch 0 geteilt werden.
- Enthält eine Formel eine Quadratwurzel, darf im Schulkontext keine Wurzel aus negativen Zahlen gezogen werden.
f(x)=1/(x-2): Diese Funktion ist fürx=2nicht definiert, da dies eine Division durch null wäre. Der Definitionsbereich umfasst also alle reellen Zahlen außer2.g(x)=√(x-1): Diese Funktion ist nur definiert, wennx-1 265, also wennx 261.
Wichtiger Hinweis
Bei einer Funktion darf ein und demselben Wert von x nur ein einziges Bild zugeordnet werden. Das ist eine essentielle Regel. Grafisch bedeutet dies, dass wenn eine senkrechte Gerade eine Kurve an mehreren Punkten schneidet, diese Kurve keine Funktion darstellt.
Eine Funktion ist eine sehr präzise mathematische Beziehung: Jedem erlaubten Wert von x ordnet sie genau einen Ausgabewert zu, bezeichnet als f(x). Um gut mit Funktionen zu arbeiten, muss man die Grundbegriffe wie Bild, Urbild und Definitionsbereich beherrschen. Auch muss man verbotene Werte in manchen Ausdrücken erkennen können. Dieser erste Schritt ist unerlässlich, da er die Grundlage für alle weiteren Rechnungen, grafischen Darstellungen und die Untersuchung der Veränderung im weiteren Verlauf bildet.
Teil 2: Berechnung von Bild und Urbild
1. Bild berechnen
Um das Bild einer Zahl durch eine durch eine Formel gegebene Funktion zu berechnen, ersetzt man x durch den gewählten Wert und führt die Berechnungen in der üblichen Reihenfolge aus.
Beispiel: Wenn f(x) = 3x - 5 gilt, dann:
2. Urbild berechnen
Um das Urbild einer Zahl b zu finden, sucht man die(n) Werte von x, welche die Gleichung f(x)=b erfüllen. Das entspricht dem Lösen einer Gleichung.
Beispiel: Bestimmung des Urbilds von 4 bei f(x) = 3x - 5:
Also ist 3 ein Urbild von 4 bei der Funktion f.
Hinweis — Je nach Funktion kann die Gleichung f(x)=b keine Lösung, eine Lösung oder mehrere Lösungen haben. Das bedeutet, dass eine Zahl 0, 1 oder mehrere Urbilder haben kann.
| x | f(x) = 3x − 5 |
|---|---|
| 0 | −5 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 5 | 10 |
Die Berechnung eines Bilds und die Suche nach einem Urbild sind zwei verschiedene Vorgehensweisen. Für ein Bild startet man mit einem Wert von x und berechnet direkt das Ergebnis. Für ein Urbild beginnt man mit einem Ergebnis und sucht die dazugehörigen Startwerte. Diese Fähigkeiten sind in der 9. Klasse grundlegend, da sie das Verständnis für das Konzept der Funktion fördern, den Zusammenhang zwischen Rechnung und Gleichung herstellen und den Bezug zu Tabellen- oder Graphenlesen ermöglichen.
Teil 3: Grafische Darstellung
Erinnerung
- Die grafische Darstellung einer Funktion ist die Menge der Punkte mit den Koordinaten
(x ; f(x)). - Man kann diese Darstellung erstellen, indem man mehrere Bilder berechnet und die entsprechenden Punkte einzeichnet.
- Für eine affine Funktion ist die grafische Darstellung eine Gerade.
Ein Bild in einem Graphen ablesen
Um f(a) in einem Graphen abzulesen:
- Bestimme
aauf der horizontalen Achse. - Zeichne gedanklich oder mit Lineal eine Senkrechte bis zur Kurve.
- Lies den Wert auf der vertikalen Achse ab: das ist das Bild von
a.
Ein Urbild in einem Graphen ablesen
Um die Urbilder von b zu finden:
- Bestimme
bauf der vertikalen Achse. - Zeichne eine waagerechte Linie bis zur Kurve.
- Lies auf der horizontalen Achse den oder die Werte von
xab, die dazu gehören.
Um die Gerade mit der Gleichung y = 2x + 1 zu zeichnen, kann man zunächst einige Werte in einer Tabelle berechnen.
Tipp — Für eine affine Funktion y=ax+b kann man schnell den Punkt (0 ; b) eintragen, dann einen zweiten Punkt wie (1 ; a+b).
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| −1 | −1 |
Die grafische Darstellung einer Funktion erlaubt es, ihr Verhalten zu visualisieren. Sie liefert oft Näherungswerte, ist aber sehr nützlich, um schnell Bilder, Urbilder abzulesen oder um die Entwicklung einer Situation zu verstehen. Bei affinen Funktionen ist die Kurve eine Gerade, was ihre Untersuchung erleichtert. Das Umwandeln einer Formel in eine Tabelle und von einer Tabelle in einen Graphen ist eine wesentliche Kompetenz im 9. Schuljahr.
Teil 4: Untersuchung der Veränderung
Definitionen
- f ist wachsend, wenn
f(x)mit steigendemxgrößer wird. - f ist fallend, wenn
f(x)mit steigendemxkleiner wird. - f ist konstant, wenn der Wert von
f(x)sich nicht ändert, wennxvariiert.
Fall der affinen Funktionen
- Ist
f(x) = ax + bmita > 0, dann ist f wachsend. - Ist
f(x) = ax + bmita < 0, dann ist f fallend. - Ist
a = 0, dann istf(x) = bund die Funktion ist konstant.
| Affine Funktion | Vorzeichen von a | Veränderung |
|---|---|---|
| f(x) = ax + b | a > 0 | wachsend |
| f(x) = ax + b | a < 0 | fallend |
| f(x) = ax + b | a = 0 | konstant |
Veränderung in einem Graphen ablesen
Um die Veränderung zu untersuchen, schaut man sich die Kurve von links nach rechts an:
- Steigt sie, ist die Funktion wachsend;
- fällt sie, ist die Funktion fallend;
- bleibt sie horizontal, ist die Funktion konstant.
Die Veränderung beschreibt die Entwicklung einer Funktion, wenn sich der Wert von x ändert. Sie zeigt an, ob eine Größe steigt, fällt oder stabil bleibt. Im 9. Schuljahr ist dieses Konzept besonders wichtig, um Graphen zu interpretieren und affinen Funktionen zu verstehen. Der Koeffizient a gibt direkt die Veränderungsrichtung an: positiv für eine wachsende Funktion, negativ für eine fallende und null für eine konstante Funktion. Dieses Verständnis verleiht den angewandten mathematischen Modellen in konkreten Situationen Bedeutung.
Eine Funktion ordnet jeder erlaubten Zahl genau ein Bild zu. In der 9. Klasse sollte man dieses Konzept erkennen, das richtige Vokabular verwenden, Bilder berechnen, Urbilder bestimmen, eine Funktion grafisch darstellen und ihre Veränderung interpretieren können. Affine Funktionen sind besonders wichtig, da sie viele Situationen einfach modellieren: Preisentwicklung, zurückgelegte Strecke, Temperatur, Verbrauch oder Geschwindigkeit. Funktionen zu beherrschen bedeutet, ein grundlegendes Werkzeug zu haben, um Rechnung, graphisches Lesen und Problemlösung zu verbinden.