Funciones
Problemática — ¿Cómo definir, representar y usar las funciones para modelar diversas situaciones en 3o de secundaria?
- Comprender la noción de función y el vocabulario asociado: imagen, antecedente, dominio de definición.
- Calcular la imagen de un número a partir de una fórmula, una tabla o un gráfico.
- Determinar uno o varios antecedentes de un número.
- Representar gráficamente una función simple, en particular una función afín.
- Leer e interpretar las variaciones de una función.
Parte 1: Noción de función
Una función asocia a cada número x de un conjunto dado, llamado dominio de definición, un único número notado f(x). Este número se llama imagen de x por la función f.
Vocabulario
- Antecedente: número de partida, es el valor de
x. - Imagen: resultado obtenido, es el valor de
f(x). - Dominio de definición: conjunto de todos los valores de
xpara los cuales la función está definida.
Para la función f(x) = 2x + 3:
Se dice que 11 es la imagen de 4 por la función f. También se puede decir que 4 es un antecedente de 11 para esta función.
Dominio de definición: valores prohibidos
- Si una fórmula contiene una división, no se puede dividir por 0.
- Si una fórmula contiene una raíz cuadrada, no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo en el contexto de secundaria.
f(x)=1/(x-2): esta función no está definida parax=2, porque eso implicaría una división entre cero. Por lo tanto, el dominio de definición son todos los números reales menos2.g(x)=√(x-1): esta función está definida solo six-1 ≥ 0, es decir, six ≥ 1.
Observación importante
En una función, a un mismo valor de x, sólo se le puede asociar una única imagen. Esta es una regla esencial. Gráficamente, esto significa que si una línea vertical corta a una curva en varios puntos, entonces esta curva no representa una función.
Una función es una relación matemática muy precisa: a cada valor permitido de x, le asigna un único valor de salida, notado f(x). Para trabajar bien con funciones, es necesario dominar el vocabulario básico: imagen, antecedente y dominio de definición. También hay que saber identificar los valores prohibidos en ciertas expresiones. Esta primera etapa es indispensable, pues sirve de base a todos los cálculos, representaciones gráficas y al estudio de las variaciones en el resto del curso.
Parte 2: Cálculo de imagen y antecedente
1. Cálculo de imagen
Para calcular la imagen de un número por una función dada por una fórmula, se reemplaza x por el valor elegido, y luego se realizan los cálculos en el orden habitual.
Ejemplo: si f(x) = 3x − 5, entonces:
2. Cálculo de antecedente
Para encontrar un antecedente de un número b, se buscan los valores de x que verifican la igualdad f(x)=b. Esto equivale a resolver una ecuación.
Ejemplo: buscar el antecedente de 4 para f(x) = 3x − 5:
Por lo tanto, 3 es un antecedente de 4 para la función f.
Observación — Según la función estudiada, la ecuación f(x)=b puede tener ninguna solución, una sola solución o varias soluciones. Esto significa que un número puede tener 0, 1 o múltiples antecedentes.
| x | f(x) = 3x − 5 |
|---|---|
| 0 | −5 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 5 | 10 |
El cálculo de una imagen y la búsqueda de un antecedente son dos procedimientos diferentes. Para una imagen, partimos de un valor de x y calculamos directamente el resultado. Para un antecedente, partimos de un resultado y debe encontrarse el o los valores iniciales correspondientes. Estas habilidades son fundamentales en 3o, porque permiten comprender el sentido de una función, relacionar cálculo y ecuación, y conectar con la lectura de una tabla o un gráfico.
Parte 3: Representación gráfica
Recordatorio
- La representación gráfica de una función es el conjunto de puntos con coordenadas
(x ; f(x)). - Esta representación se puede construir calculando varias imágenes y luego colocando los puntos correspondientes.
- Para una función afín, la representación gráfica es una recta.
Leer una imagen en un gráfico
Para leer f(a) sobre un gráfico:
- Localizar
aen el eje horizontal. - Traza mentalmente o con regla una línea vertical hasta la curva.
- Lee el valor obtenido en el eje vertical: es la imagen de
a.
Leer un antecedente en un gráfico
Para encontrar los antecedentes de b:
- Localizar
ben el eje vertical. - Traza horizontalmente hasta la curva.
- Lee en el eje horizontal los valores de
xcorrespondientes.
Para trazar la recta de ecuación y = 2x + 1, se puede comenzar calculando algunos valores en una tabla.
Consejo — Para una función afín y=ax+b, se puede colocar rápidamente el punto (0 ; b), y luego un segundo punto como (1 ; a+b).
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| −1 | −1 |
La representación gráfica de una función permite visualizar su comportamiento. A menudo da valores aproximados, pero es muy útil para leer rápidamente imágenes, antecedentes o para comprender la evolución de una situación. En el caso de las funciones afines, la curva es una recta, lo que simplifica su estudio. Saber pasar de una fórmula a una tabla, y luego de una tabla a un gráfico, es una competencia esencial del programa de 3o.
Parte 4: Estudio de las variaciones
Definiciones
- f es creciente si, cuando
xaumenta,f(x)aumenta. - f es decreciente si, cuando
xaumenta,f(x)disminuye. - f es constante si el valor de
f(x)no cambia cuandoxvaría.
Caso de funciones afines
- Si
f(x) = ax + bcona > 0, entonces f es creciente. - Si
f(x) = ax + bcona < 0, entonces f es decreciente. - Si
a = 0, entoncesf(x)=by la función es constante.
| Función afín | Signo de a | Variación |
|---|---|---|
| f(x) = ax + b | a > 0 | creciente |
| f(x) = ax + b | a < 0 | decreciente |
| f(x) = ax + b | a = 0 | constante |
Leer las variaciones en un gráfico
Para estudiar las variaciones, se observa la curva de izquierda a derecha:
- si sube, la función es creciente;
- si baja, la función es decreciente;
- si se mantiene horizontal, la función es constante.
Las variaciones describen la evolución de una función cuando cambia el valor de x. Permiten saber si una magnitud aumenta, disminuye o permanece estable. En 3o, esta noción es particularmente importante para interpretar un gráfico y para entender las funciones afines. El coeficiente a da directamente el sentido de variación: positivo para función creciente, negativo para función decreciente, y cero para función constante. Esta interpretación da sentido a los modelos matemáticos usados en situaciones concretas.
Una función asocia a cada número permitido una imagen única. En 3o de secundaría, se debe saber reconocer esta noción, usar el vocabulario correcto, calcular imágenes, determinar antecedentes, representar una función gráficamente e interpretar sus variaciones. Las funciones afines ocupan un lugar importante, ya que permiten modelar simplemente muchas situaciones: evolución de un precio, distancia recorrida, temperatura, consumo o velocidad. Dominar las funciones es adquirir una herramienta esencial para vincular cálculo, lectura gráfica y resolución de problemas.