Proporcionalidad y funciones
Problema — ¿Cómo modelar situaciones de proporcionalidad usando funciones e interpretar sus representaciones gráficas?
- Comprender la relación entre proporcionalidad y funciones.
- Reconocer y utilizar una función proporcional.
- Distinguir una función proporcional de una función afín.
- Saber leer, completar e interpretar una tabla de valores.
- Trazar y aprovechar las representaciones gráficas de estas funciones.
- Resolver problemas concretos usando estos modelos.
- Una función proporcional se escribe
f(x)=kxy su recta pasa por(0;0). - Una función afín se escribe
f(x)=ax+by su recta pasa por(0;b). - La función proporcional es un caso particular de la función afín cuando
b=0. - El coeficiente
koacorresponde a la pendiente de la recta. - El número
bcorresponde a la ordenada al origen, es decir, el valor parax=0.
Introducción
En matemáticas, una función permite asociar a un valor x otro valor notado f(x). En 5º se estudian especialmente dos tipos de funciones muy importantes: la función proporcional y la función afín.
Estas funciones se usan para modelar muchas situaciones cotidianas: precio, distancia, velocidad, suscripción, consumo, temperatura, etc.
Modelar una situación es traducirla mediante una expresión matemática para entenderla mejor, representarla y hacer cálculos.
- Las funciones son herramientas que permiten relacionar dos magnitudes.
- En 5º se debe saber reconocer si una situación es proporcional o afín.
Parte 1: Función proporcional
Una función proporcional es una función definida por f(x) = k × x, donde k es el coeficiente de proporcionalidad.
Propiedades
- Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen
(0;0). - El número
kda la variación de la función cuandoxvaría. - Para una función proporcional, si se multiplica
xpor un número, entoncesf(x)se multiplica por el mismo número. - El coeficiente
kes también la pendiente de la recta. - Además, se cumple que
k = f(1).
Interpretación concreta
En una situación de proporcionalidad, no hay valor fijo al inicio. Todo depende directamente de la cantidad elegida.
Por ejemplo, si 1 kg de fruta cuesta 3 €, entonces 2 kg cuestan 6 €, 4 kg cuestan 12 €: el precio depende directamente de la masa comprada.
Probar la proporcionalidad
- Método del coeficiente: si
y = k × xcon el mismokpara todos los valores, entonces la situación es proporcional. - Método del cociente: si la relación
y ÷ xes siempre la misma (parax ≠ 0), entonces la situación es proporcional. - Producto cruzado: para dos pares
(x₁, y₁)y(x₂, y₂), verificar quex₁ × y₂ = x₂ × y₁. - Método gráfico: la representación de una situación proporcional es una recta que pasa por
(0;0).
f(x) = 4x: k = 4. Si x se duplica, entonces f(x) también se duplica.
Precio proporcional: 2 kg → 7 €, 5 kg → 17,50 €:
7 ÷ 2 = 3,5 y 17,50 ÷ 5 = 3,5 ⇒ es proporcional.
También se puede verificar con producto cruzado:
2 × 17,50 = 35 y 5 × 7 = 35 ⇒ proporcional.
| x | f(x) = 2x | f(x) = 4x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 6 | 12 |
| 5 | 10 | 20 |
Para reconocer rápidamente una función proporcional, se pueden seguir los siguientes pasos:
- Verificar si la expresión es de la forma
kx. - Comprobar si
f(0)=0. - Verificar si la recta pasa por el origen
(0;0). - Si es necesario, calcular el cociente
y ÷ xpara ver si es constante.
- Una función proporcional se escribe
f(x)=kx. - Su representación es una recta que pasa por
(0;0). - El coeficiente
kes a la vez el coeficiente de proporcionalidad y la pendiente.
Parte 2: Función afín
Una función afín es una función definida por f(x) = a x + b, donde a es la pendiente y b la ordenada al origen.
Propiedades
- Su representación gráfica es una recta.
- Esta recta no pasa necesariamente por el origen.
- Corta el eje de las ordenadas en el punto
(0;b). - El número
aindica la variación def(x)cuandoxaumenta en 1. - El número
bcorresponde al valor de la función cuandox = 0.
Interpretación concreta
Una función afín suele modelar una situación con:
- una parte fija: es
b; - una parte variable: es
a x.
f(x) = 3x + 2: a = 3 y b = 2. La recta corta el eje de las ordenadas en 2.
g(x) = 0,05x + 10 modela un costo: una parte fija de 10 € y una parte variable de 0,05 € por unidad de x.
Por ejemplo, para x = 100, se obtiene g(100)=0,05×100+10=15.
Relación entre función proporcional y función afín
Cualquier función proporcional es también una función afín, pero particular.
Una función proporcional es un caso particular de función afín para la cual b = 0.
| Tipo | Expresión | Gráfico | Parámetros |
|---|---|---|---|
| Proporcional | f(x) = kx |
Recta por (0;0) | k: pendiente y coeficiente |
| Afín | f(x) = ax + b |
Recta, pasa por (0;b) |
a: pendiente; b: ordenada al origen |
Para reconocer una función afín, se pueden seguir estos pasos:
- Verificar si la expresión es de la forma
ax+b. - Detectar el valor de
b, que corresponde af(0). - Observar si la recta corta el eje de las ordenadas en
(0;b). - Comprobar si la situación tiene una parte fija y una parte variable.
- Una función afín se escribe
f(x)=ax+b. - Suele modelar una situación con parte fija + parte variable.
- Si
b=0, entonces la función afín se convierte en una función proporcional.
Parte 3: Distinguir función proporcional y función afín
Método rápido
- Mirar la expresión:
kx⇒ proporcionalax+b⇒ afín
- Mirar el valor para x=0:
- si
f(0)=0, puede ser proporcional; - si
f(0)=bconb ≠ 0, entonces no es proporcional.
- si
- Observar el gráfico:
- recta que pasa por el origen ⇒ proporcional;
- recta que no pasa por el origen ⇒ afín no proporcional.
f(x)=5x es proporcional porque no tiene término añadido y f(0)=0.
g(x)=5x+4 es afín pero no proporcional porque g(0)=4.
- No toda recta es una situación de proporcionalidad.
- Una función afín puede tener una recta que sube o baja, pero si no pasa por
(0;0), no es proporcional. - No confundir
ayb:acorresponde a la variación;bcorresponde al valor inicial.
- Una función de la forma
axes afín y proporcional: no es uno u otro, sino ambos. - Una recta paralela a la de una función proporcional no es necesariamente proporcional.
- El criterio más sencillo es: pasa por el origen ⇒ proporcional.
- Una función afín tiene una ordenada al origen igual a
b.
Parte 4: Representación gráfica
Función proporcional
- Su representación es una recta que pasa por
(0;0). - El coeficiente
kda la pendiente. - Para dibujar esta recta, dos puntos son suficientes, por ejemplo
(0;0)y(1;k).
Función afín
- Su representación también es una recta.
- Corta el eje de las ordenadas en
(0;b). - Primero se marca
(0;b), luego se usa la pendientea. - Si
a=2, cuandoxaumenta en 1, entoncesyaumenta en 2. - Si
a=-1, cuandoxaumenta en 1,ydisminuye en 1.
Dibujar f(x) = 2x y g(x) = 2x + 3: estas dos funciones tienen la misma pendiente 2. Por eso sus rectas son paralelas. Pero g está desplazada hacia arriba 3 unidades porque g(0)=3.
| x | f(x) = 2x | g(x) = 2x + 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 8 | 11 |
Lectura gráfica
- Leer la ordenada al origen equivale a leer el valor de la función para
x=0. - Leer la pendiente significa observar cuánto varía
ycuandoxaumenta en 1. - Una recta que sube de izquierda a derecha tiene pendiente positiva.
- Una recta que baja de izquierda a derecha tiene pendiente negativa.
Para leer un gráfico de función:
- Comprobar si la recta pasa por el origen o no.
- Leer el punto donde la recta corta el eje de las ordenadas.
- Observar cómo varía
ycuandoxaumenta en 1. - Deducir si se trata de una función proporcional o afín.
- Pasa por el origen ⇒ función proporcional.
- Pasa por
(0;b)conb ≠ 0⇒ función afín no proporcional. - La pendiente describe cómo varía la función.
Parte 5: Resolución de problemas
Método general
- Identificar la naturaleza de la relación: proporcional o afín.
- Determinar las magnitudes en juego y su significado.
- Escribir la expresión adecuada:
kxoax + b. - Calcular los valores pedidos.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Proporcional — Velocidad constante: d(x)=60x donde x está en horas y d en km. En 2,5 h: d(2,5)=150 km.
Afín — Suscripción: f(x)=0,05x+10 donde x está en minutos y f en euros. Para 100 min: f(100)=15 €.
Un taxi cobra 4 € de bajada de bandera y luego 2 € por kilómetro.
Si x es el número de kilómetros recorridos, entonces el precio está dado por P(x)=2x+4.
Esta situación no es proporcional porque incluso para x=0, ya se paga 4 €.
- Una situación con precio inicial, suscripción o gastos fijos generalmente no es proporcional.
- No hay que olvidar interpretar el sentido de
xy def(x)en el problema. - Una expresión matemática correcta no basta: también hay que verificar que se ajusta a la situación real.
- Las funciones son herramientas de modelización.
- La función proporcional modela una variación única.
- La función afín modela una parte fija + una parte variable.
La función proporcional (f(x)=kx) es un caso particular de la función afín (f(x)=ax+b) cuando b=0. En 5º, se debe saber reconocerlas, distinguirlas, completar una tabla de valores, representarlas gráficamente y usarlas para modelar situaciones cotidianas.