Funzioni
Problema — Come definire, rappresentare e utilizzare le funzioni per modellare situazioni diverse in 3ª?
- Comprendere il concetto di funzione e il vocabolario associato: immagine, antecedente, insieme di definizione.
- Calcolare l’immagine di un numero a partire da una formula, una tabella o un grafico.
- Determinare uno o più antecedenti di un numero.
- Rappresentare graficamente una funzione semplice, in particolare una funzione affine.
- Leggere e interpretare le variazioni di una funzione.
Parte 1 : Concetto di funzione
Una funzione associa a ogni numero x di un insieme dato, chiamato insieme di definizione, un unico numero indicato con f(x). Questo numero è chiamato immagine di x dalla funzione f.
Vocabolario
- Antecedente: numero di partenza, è il valore di
x. - Immagine: risultato ottenuto, è il valore di
f(x). - Insieme di definizione: insieme di tutti i valori di
xper cui la funzione è definita.
Per la funzione f(x) = 2x + 3:
Si dice che 11 è l’immagine di 4 dalla funzione f. Si può anche dire che 4 è un antecedente di 11 per questa funzione.
Insieme di definizione: valori vietati
- Se una formula contiene una divisione, non si può dividere per 0.
- Se una formula contiene una radice quadrata, non si può prendere la radice quadrata di un numero negativo nel contesto della scuola secondaria inferiore.
f(x)=1/(x-2): questa funzione non è definita perx=2, perché causerebbe una divisione per zero. L’insieme di definizione è quindi tutti i numeri reali tranne2.g(x)=√(x-1): questa funzione è definita solo sex-1 ≥ 0, quindi sex ≥ 1.
Osservazione importante
In una funzione, a uno stesso valore di x si può associare una sola immagine. Questa è una regola essenziale. Graficamente, significa che se una retta verticale interseca una curva in più punti, allora questa curva non rappresenta una funzione.
Una funzione è una relazione matematica molto precisa: ad ogni valore consentito di x associa un solo valore di uscita, indicato con f(x). Per lavorare bene sulle funzioni, bisogna padroneggiare il vocabolario di base: immagine, antecedente e insieme di definizione. Bisogna anche essere capaci di individuare i valori vietati in alcune espressioni. Questo primo passo è indispensabile perché serve da base a tutti i calcoli, alle rappresentazioni grafiche e allo studio delle variazioni nel seguito del corso.
Parte 2 : Calcolo dell’immagine e dell’antecedente
1. Calcolo dell’immagine
Per calcolare l’immagine di un numero da una funzione data da una formula, si sostituisce x con il valore scelto, poi si eseguono i calcoli nell’ordine abituale.
Esempio: se f(x) = 3x − 5, allora:
2. Calcolo dell’antecedente
Per trovare un antecedente di un numero b, si cerca il o i valori di x che verificano l’uguaglianza f(x)=b. Questo equivale a risolvere un’equazione.
Esempio: trovare l’antecedente di 4 per f(x) = 3x − 5:
Quindi 3 è un antecedente di 4 per la funzione f.
Osservazione — A seconda della funzione studiata, l’equazione f(x)=b può avere nessuna soluzione, una soluzione unica o più soluzioni. Questo significa che un numero può avere 0, 1 o più antecedenti.
| x | f(x) = 3x − 5 |
|---|---|
| 0 | −5 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 5 | 10 |
Il calcolo di un’immagine e la ricerca di un antecedente sono due procedure differenti. Per un’immagine, si parte da un valore di x e si calcola direttamente il risultato. Per un antecedente, si parte da un risultato e si deve trovare il o i valori di partenza corrispondenti. Queste competenze sono fondamentali in 3ª perché permettono di comprendere il significato di una funzione, collegare calcolo ed equazione e fare il legame con la lettura di una tabella o di un grafico.
Parte 3 : Rappresentazione grafica
Richiamo
- La rappresentazione grafica di una funzione è l’insieme dei punti con coordinate
(x ; f(x)). - Si può costruire questa rappresentazione calcolando più immagini, quindi posizionando i punti corrispondenti.
- Per una funzione affine, la rappresentazione grafica è una retta.
Leggere un’immagine su un grafico
Per leggere f(a) su un grafico:
- Individuare
asull’asse orizzontale. - Tracciare mentalmente o con la riga una retta verticale fino alla curva.
- Leggere il valore ottenuto sull’asse verticale: è l’immagine di
a.
Leggere un antecedente su un grafico
Per trovare gli antecedenti di b:
- Individuare
bsull’asse verticale. - Tracciare orizzontalmente fino alla curva.
- Leggere sull’asse orizzontale il o i valori di
xcorrispondenti.
Per tracciare la retta di equazione y = 2x + 1, si può iniziare calcolando alcuni valori in una tabella.
Consiglio — Per una funzione affine y=ax+b, si può rapidamente posizionare il punto (0 ; b), poi un secondo punto come (1 ; a+b).
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| −1 | −1 |
La rappresentazione grafica di una funzione permette di visualizzarne il comportamento. Spesso fornisce valori approssimati, ma è molto utile per leggere rapidamente immagini, antecedenti o per comprendere l’andamento di una situazione. Nel caso delle funzioni affini, la curva è una retta, il che rende più semplice il loro studio. Saper passare da una formula a una tabella, e da una tabella a un grafico, è una competenza essenziale del programma di 3ª.
Parte 4 : Studio delle variazioni
Definizioni
- f è crescente se, quando
xaumenta,f(x)aumenta. - f è decrescente se, quando
xaumenta,f(x)diminuisce. - f è costante se il valore di
f(x)non cambia quandoxvaria.
Nel caso delle funzioni affini
- Se
f(x) = ax + bcona > 0, allora f è crescente. - Se
f(x) = ax + bcona < 0, allora f è decrescente. - Se
a = 0, alloraf(x)=be la funzione è costante.
| Funzione affine | Segno di a | Variazione |
|---|---|---|
| f(x) = ax + b | a > 0 | crescente |
| f(x) = ax + b | a < 0 | decrescente |
| f(x) = ax + b | a = 0 | costante |
Leggere le variazioni su un grafico
Per studiare le variazioni, si guarda la curva da sinistra a destra:
- se sale, la funzione è crescente;
- se scende, la funzione è decrescente;
- se resta orizzontale, la funzione è costante.
Le variazioni descrivono l’evoluzione di una funzione quando il valore di x cambia. Permettono di sapere se una grandezza aumenta, diminuisce o rimane stabile. In 3ª questa nozione è particolarmente importante per interpretare un grafico e per comprendere le funzioni affini. Il coefficiente a indica direttamente il senso della variazione: positivo per una funzione crescente, negativo per una funzione decrescente, zero per una funzione costante. Questa lettura dà senso ai modelli matematici utilizzati in situazioni concrete.
Una funzione associa a ogni numero ammesso un’unica immagine. In 3ª bisogna sapere riconoscere questo concetto, utilizzare il vocabolario corretto, calcolare immagini, determinare antecedenti, rappresentare graficamente una funzione e interpretarne le variazioni. Le funzioni affini hanno un ruolo importante, perché permettono di modellare semplicemente molte situazioni: l’evoluzione di un prezzo, la distanza percorsa, la temperatura, il consumo o la velocità. Padroneggiare le funzioni significa quindi acquisire uno strumento essenziale per collegare calcolo, lettura grafica e risoluzione di problemi.