الكسور: الحسابات والمقارنات

الجزء 1: تذكير وتعريفات أساسية عن الكسور

الكسور تمثل جزءًا من كل مقسّم إلى أجزاء متساوية. مثلاً، \(\frac{3}{4}\) تعني 3 أجزاء من 4 أجزاء متساوية.

يمكن أحيانًا تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على نفس العدد الصحيح، ويسمى هذا "عامل مشترك".

حالات خاصة مختلفة

• إذا كان البسط يساوي المقام، فإن الكسر يساوي 1 (مثل \(\frac{5}{5} = 1\)).
• إذا كان البسط صفرًا، فإن الكسر يساوي 0 (مثل \(\frac{0}{7} = 0\)).
• الكسر \(\frac{a}{1} = a\) يمثل عددًا صحيحًا.

الجزء 2: جمع وطرح الكسور

لجمع أو طرح كسرين، يجب أن يكون لهما نفس المقام. وإذا لم يكن كذلك، نبحث عن مقام مشترك.

خطوات الجمع أو الطرح:

1. حساب الأصغر مضاعف مشترك للمقامات.
2. كتابة كل كسر في الصورة المكافئة بالمقام الجديد.
3. إجراء الجمع أو الطرح على البسوط.
4. تبسيط النتيجة إذا أمكن.

مثال عملي

احسب \(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\).

• المقامات 3 و4؛ وأصغر مضاعف مشترك لهما هو 12.
• نكتب \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) لأن \(2 \times 4 = 8\).
• نكتب \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) لأن \(1 \times 3 = 3\).
• نجمع: \(\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}\).

الجزء 3: ضرب وقسمة الكسور

قواعد الضرب والقسمة أبسط من الجمع والطرح.

مثال عملي

احسب \(\frac{3}{5} \times \frac{7}{4}\) :

نضرب البسوط: \(3 \times 7 = 21\) والمقامات: \(5 \times 4 = 20\). إذًا \(\frac{3}{5} \times \frac{7}{4} = \frac{21}{20}\).

احسب \(\frac{2}{3} \div \frac{5}{6}\) :

نضرب \(\frac{2}{3}\) بالمقلوب \(\frac{6}{5}\) أي \(\frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15}\) ونبسطها إلى \(\frac{4}{5}\).

الجزء 4: مقارنة الكسور

مقارنة الكسور تعني تحديد أيها أكبر أو أصغر أو إذا كانت متساوية.

لو كانت الكسور لها نفس المقام، فالمقارنة مباشرة:

• الكسر ذو البسط الأكبر هو الأكبر.

إذا اختلفت المقامات، يجب جعلها قابلة للمقارنة بـ:

1. العثور على مقام مشترك، عادة أصغر مضاعف مشترك للمقامات.
2. كتابة كل كسر في صورة مكافئة بالمقام المشترك.
3. مقارنة البسوط بعدها.

طريقة أخرى: طريقة الضرب التبادلي

لمقارنة \(\frac{a}{b}\) و\(\frac{c}{d}\)، نحسب:

• \(a \times d\)
• \(b \times c\)

- إذا كان \(a \times d > b \times c\)، إذًا \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\).

- إذا كان \(a \times d < b \times c\)، إذًا \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).

- إذا كانا متساويين، فالكسور متساوية.

مثال عملي

قارن \(\frac{5}{8}\) و \(\frac{7}{12}\).

الضرب التبادلي :

• \(5 \times 12 = 60\)
• \(8 \times 7 = 56\)

لأن 60 أكبر من 56، إذًا \(\frac{5}{8} > \frac{7}{12}\).

الجزء 5: التبسيط والكسور غير القابلة للاختزال

الكسر غير قابل للاختزال إذا لم يكن للبسط والمقام أي قاسم مشترك غير 1.

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين هو أكبر عدد صحيح يقسم العددين.

مثال عملي

بسط الكسر \(\frac{24}{36}\).

القاسم المشترك الأكبر لـ 24 و36 هو 12.

نقسم البسط والمقام على 12:

\(\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}\).

Aller plus loin : Quiz et exercices