الأسس والكتابة العلمية

الجزء 1: فهم الأسس

مثلاً، 3⁴ تعني 3 × 3 × 3 × 3، أي 81. هذا يسمح بكتابة ضربات طويلة ومتكررة بطريقة مضغوطة.

قوانين الحساب مع الأسس

• حاصل ضرب أسس بنفس الأساس : a^m × aⁿ = a^m+n
• أس لأس : (a^m)ⁿ = a^m×n
• قسمة أسس بنفس الأساس : a^m ÷ aⁿ = a^m−n (حيث m≥n)
• أس لعملية ضرب : (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

يجب أيضاً فهم أن a⁰ = 1 لأي عدد a ≠ 0.

مثال عملي

لنحسب 2³ × 2⁵ :

بتطبيق قاعدة حاصل الضرب: 2³⁺⁵ = 2⁸ = 256.

الجزء 2: أسس الرقم 10 وأهميتها

مثلاً، 10³ = 1000 تمثل ألف. وكذلك، 10^-2 = 0,01 تمثل الجزء من المئة.

استخدامات أسس 10

• الضرب في 10ⁿ يعادل تحريك الفاصلة العشرية n مواضع إلى اليمين إذا كان n موجبا.
• القسمة على 10ⁿ (أو الضرب في 10^-n) تعادل تحريك الفاصلة العشرية n مواضع إلى اليسار.

مثال عملي

لنحسب 3,5 × 10⁴ :

يكفي تحريك الفاصلة 4 أماكن إلى اليمين: 3,5 تصبح 35000.

وبالمقابل، 6,2 × 10^-3 = 0,0062 بتحريك الفاصلة 3 أماكن إلى اليسار.

الجزء 3: الكتابة العلمية للعدد

هذه الكتابة مفيدة جداً في العلوم لتبسيط كتابة الأعداد الكبيرة جداً (كالمسافة بين الكواكب) أو الصغيرة جداً (كحجم الذرة).

تحويل عدد إلى كتابة علمية

لتحويل عدد من الشكل التقليدي إلى كتابة علمية:

• يتم تحريك الفاصلة بحيث يكون المعامل a بين 1 و 10.
• عدد الأماكن التي تم تحريكها يُحدد قيمة الأس n : إذا حُركت الفاصلة نحو اليسار يكون n موجبا، وإذا نحو اليمين يكون سالبا.

مثال عملي

لنعبّر عن 560000 كتابة علمية:

يجب تحريك الفاصلة 5 مواضع إلى اليسار ليصبح المعامل بين 1 و 10: 5,6 × 10⁵.

أما للعدد الصغير، مثلاً 0,00034 :

ننقل الفاصلة 4 مواضع إلى اليمين لنحصل على 3,4. إذن الكتابة العلمية هي 3,4 × 10^-4.

الجزء 4: الحسابات مع الأعداد في الكتابة العلمية

الحسابات مع الأعداد المكتوبة كتابة علمية تعتمد أساساً على قوانين أسس 10 وخصائص المعاملات.

ضرب عددين في الكتابة العلمية

نضرب المعاملات ونجمع الأسس :

(a × 10^m) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10^m+n

قسمة عددين في الكتابة العلمية

نقسم المعاملات ونطرح الأسس :

(a × 10^m) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10^m−n

مثال عملي

لنحسب (3 × 10⁴) × (2 × 10³) :

ضرب المعاملات: 3 × 2 = 6.

جمع الأسس: 4 + 3 = 7.

النتيجة: 6 × 10⁷.

للقسمة، نحسب (4,5 × 10⁶) ÷ (1,5 × 10²) :

قسمة المعاملات: 4,5 ÷ 1,5 = 3.

طرح الأسس: 6 - 2 = 4.

النتيجة: 3 × 10⁴.

الجزء 5: المقارنة ورتب الحجم

الكتابة العلمية مفيدة جداً لمقارنة أعداد تختلف بشكل كبير في القيمة وتحديد رتبة الحجم.

مقارنة الأعداد المكتوبة كتابة علمية

لمقارنة عددين مكتوبين بصيغة a × 10ⁿ، ننظر أولاً إلى الأسس n. إذا كان الأس أكبر يكون العدد أكبر.
إذا كانت الأسس متساوية، نُقارن المعاملات.

مثال عملي

قارن بين 4,5 × 10³ و 3,2 × 10⁴ :

الأس 4 أكبر من 3، إذن 3,2 × 10⁴ > 4,5 × 10³.

قارن بين 7,1 × 10⁵ و 9,8 × 10⁵ :

نفس الأس، نقارن المعاملات: 7,1 < 9,8 إذن 7,1 × 10⁵ < 9,8 × 10⁵.

Aller plus loin : Quiz et exercices