الأسس، الجذور التربيعية والكتابة العلمية

الجزء 1: الأسس وخصائصها

على سبيل المثال، $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. الأسس تتيح كتابة الضربات المتكررة بشكل مضغوط.

خصائص الأسس

• حاصل ضرب أسس ذات الأساس نفسه: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• حاصل قسمة أسس ذات الأساس نفسه: $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (مع $a \neq 0$)
• أسس الأسس: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
• أسس حاصل ضرب: $(ab)^n = a^n b^n$
• أساس الصفري: $a^0 = 1$، إذا كان $a \neq 0$

هذه الخصائص ضرورية لتبسيط التعبيرات وإجراء الحسابات باستخدام الأسس.

مثال عملي:

احسب $2^3 \times 2^4$ :

باستخدام خاصية حاصل ضرب الأسس، لدينا $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.

الجزء 2: الجذور التربيعية وحسابها

مثال: $\sqrt{9} = 3$ لأن $3 \times 3 = 9$.

خصائص الجذور التربيعية

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ لكل من $a, b \geq 0$
• $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ لـ $a \geq 0$ و $b > 0$
• الجذر التربيعي دالة متزايدة على الفترة $[0, +\infty[$

مثال عملي:

احسب $\sqrt{36}$ و $\sqrt{100}$ :

$\sqrt{36} = 6$ لأن $6 \times 6 = 36$.

$\sqrt{100} = 10$ لأن $10 \times 10 = 100$.

احسب $\sqrt{25 \times 16} = \sqrt{25} \times \sqrt{16} = 5 \times 4 = 20$.

الجزء 3: الكتابة العلمية للأعداد

هذه الكتابة مفيدة بشكل خاص للتعبير عن الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً بطريقة مختصرة وواضحة.

تحويل عدد إلى كتابة علمية

• تحريك الفاصلة العشرية بحيث يكون العدد $a$ بين 1 و10.
• عد عدد الخانات التي تم تحريكها لليسار أو اليمين لتحديد الأس $n$ للعدد 10.

أمثلة عملية:

اكتب 45000 كتابة علمية:

$45000 = 4.5 \times 10^4$ (تم تحريك الفاصلة 4 خانات إلى اليسار).

اكتب 0.0072 كتابة علمية:

$0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ (تم تحريك الفاصلة 3 خانات إلى اليمين).

تفسير كتابة علمية

لقراءة عدد بصيغة $a \times 10^n$، يكفي تحريك الفاصلة في $a$ عدد $n$ من الخانات إلى اليمين إذا كان $n > 0$، أو إلى اليسار إذا كان $n < 0$.

الجزء 4: تطبيقات الأسس والجذور في الكتابة العلمية

تلعب الأسس والجذور دوراً رئيسياً في حساب التعبيرات المكتوبة بالكتابة العلمية. من المهم إتقان القواعد لضرب وقسمة أو تبسيط هذه التعبيرات بسرعة ودون خطأ.

الضرب والقسمة

لضرب عددين في كتابة علمية، نضرب الأجزاء العشرية ونجمع الأسس:

$(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}$

للقسمة، نقسم الأجزاء العشرية ونطرح الأسس:

$\frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n}$

مثال عملي:

احسب $(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^3)$ :

$3 \times 2 = 6$ و $5 + 3 = 8$، إذن

$(3 \times 10^5) \times (2 \times 10^3) = 6 \times 10^8$.

احسب $\frac{6 \times 10^7}{2 \times 10^4}$ :

$\frac{6}{2} = 3$ و $7 - 4 = 3$، إذن

$\frac{6 \times 10^7}{2 \times 10^4} = 3 \times 10^3$.

حساب باستخدام الجذور التربيعية

الجذر التربيعي لأساس عشرة يُكتب:

$\sqrt{10^n} = 10^{\frac{n}{2}}$.

مثلاً:

$\sqrt{10^4} = 10^{2} = 100$.

Aller plus loin : Quiz et exercices