Fonctions
Problématique — Comment définir, représenter et utiliser les fonctions pour modéliser des situations variées en 3e ?
- Comprendre la notion de fonction et le vocabulaire associé : image, antécédent, ensemble de définition.
- Calculer l’image d’un nombre à partir d’une formule, d’un tableau ou d’un graphique.
- Déterminer un ou plusieurs antécédents d’un nombre.
- Représenter graphiquement une fonction simple, en particulier une fonction affine.
- Lire et interpréter les variations d’une fonction.
Partie 1 : Notion de fonction
Une fonction associe à chaque nombre x d’un ensemble donné, appelé ensemble de définition, un unique nombre noté f(x). Ce nombre est appelé image de x par la fonction f.
Vocabulaire
- Antécédent : nombre de départ, c’est la valeur de
x. - Image : résultat obtenu, c’est la valeur de
f(x). - Ensemble de définition : ensemble de toutes les valeurs de
xpour lesquelles la fonction est définie.
Pour la fonction f(x) = 2x + 3 :
On dit que 11 est l’image de 4 par la fonction f. On peut aussi dire que 4 est un antécédent de 11 pour cette fonction.
Ensemble de définition : valeurs interdites
- Si une formule contient une division, on ne peut pas diviser par 0.
- Si une formule contient une racine carrée, on ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif dans le cadre du collège.
f(x)=1/(x-2): cette fonction n’est pas définie pourx=2, car cela ferait une division par zéro. L’ensemble de définition est donc tous les nombres réels sauf2.g(x)=√(x-1): cette fonction est définie seulement six-1 ≥ 0, donc six ≥ 1.
Remarque importante
Dans une fonction, à une même valeur de x, on ne peut associer qu’une seule image. C’est une règle essentielle. Graphiquement, cela signifie que si une droite verticale coupe une courbe en plusieurs points, alors cette courbe ne représente pas une fonction.
Une fonction est une relation mathématique très précise : à chaque valeur autorisée de x, elle associe une seule valeur de sortie, notée f(x). Pour bien travailler sur les fonctions, il faut maîtriser le vocabulaire de base : image, antécédent et ensemble de définition. Il faut aussi être capable de repérer les valeurs interdites dans certaines expressions. Cette première étape est indispensable, car elle sert de base à tous les calculs, aux représentations graphiques et à l’étude des variations dans la suite du cours.
Partie 2 : Calcul d’image et d’antécédent
1. Calcul d’image
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée par une formule, on remplace x par la valeur choisie, puis on effectue les calculs dans l’ordre habituel.
Exemple : si f(x) = 3x − 5, alors :
2. Calcul d’antécédent
Pour trouver un antécédent d’un nombre b, on cherche la ou les valeurs de x qui vérifient l’égalité f(x)=b. Cela revient à résoudre une équation.
Exemple : chercher l’antécédent de 4 par f(x) = 3x − 5 :
Donc 3 est un antécédent de 4 par la fonction f.
Remarque — Selon la fonction étudiée, l’équation f(x)=b peut avoir aucune solution, une seule solution ou plusieurs solutions. Cela signifie qu’un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
| x | f(x) = 3x − 5 |
|---|---|
| 0 | −5 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 5 | 10 |
Le calcul d’une image et la recherche d’un antécédent sont deux démarches différentes. Pour une image, on part d’une valeur de x et on calcule directement le résultat. Pour un antécédent, on part d’un résultat et on doit retrouver la ou les valeurs de départ correspondantes. Ces compétences sont fondamentales en 3e, car elles permettent de comprendre le sens d’une fonction, de relier calcul et équation, et de faire le lien avec la lecture d’un tableau ou d’un graphique.
Partie 3 : Représentation graphique
Rappel
- La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées
(x ; f(x)). - On peut construire cette représentation en calculant plusieurs images, puis en plaçant les points correspondants.
- Pour une fonction affine, la représentation graphique est une droite.
Lire une image sur un graphique
Pour lire f(a) sur un graphique :
- Repérer
asur l’axe horizontal. - Tracer mentalement ou à la règle une verticale jusqu’à la courbe.
- Lire la valeur obtenue sur l’axe vertical : c’est l’image de
a.
Lire un antécédent sur un graphique
Pour trouver les antécédents de b :
- Repérer
bsur l’axe vertical. - Tracer horizontalement jusqu’à la courbe.
- Lire sur l’axe horizontal la ou les valeurs de
xcorrespondantes.
Pour tracer la droite d’équation y = 2x + 1, on peut commencer par calculer quelques valeurs dans un tableau.
Astuce — Pour une fonction affine y=ax+b, on peut placer rapidement le point (0 ; b), puis un second point comme (1 ; a+b).
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| −1 | −1 |
La représentation graphique d’une fonction permet de visualiser son comportement. Elle donne souvent des valeurs approchées, mais elle est très utile pour lire rapidement des images, des antécédents ou pour comprendre l’évolution d’une situation. Dans le cas des fonctions affines, la courbe est une droite, ce qui rend leur étude plus simple. Savoir passer d’une formule à un tableau, puis d’un tableau à un graphique, est une compétence essentielle du programme de 3e.
Partie 4 : Étude des variations
Définitions
- f est croissante si, quand
xaugmente,f(x)augmente. - f est décroissante si, quand
xaugmente,f(x)diminue. - f est constante si la valeur de
f(x)ne change pas lorsquexvarie.
Cas des fonctions affines
- Si
f(x) = ax + baveca > 0, alors f est croissante. - Si
f(x) = ax + baveca < 0, alors f est décroissante. - Si
a = 0, alorsf(x)=bet la fonction est constante.
| Fonction affine | Signe de a | Variation |
|---|---|---|
| f(x) = ax + b | a > 0 | croissante |
| f(x) = ax + b | a < 0 | décroissante |
| f(x) = ax + b | a = 0 | constante |
Lire les variations sur un graphique
Pour étudier les variations, on regarde la courbe de gauche à droite :
- si elle monte, la fonction est croissante ;
- si elle descend, la fonction est décroissante ;
- si elle reste horizontale, la fonction est constante.
Les variations décrivent l’évolution d’une fonction lorsque la valeur de x change. Elles permettent de savoir si une grandeur augmente, diminue ou reste stable. En 3e, cette notion est particulièrement importante pour interpréter un graphique et pour comprendre les fonctions affines. Le coefficient a donne directement le sens de variation : positif pour une fonction croissante, négatif pour une fonction décroissante, nul pour une fonction constante. Cette lecture donne du sens aux modèles mathématiques utilisés dans des situations concrètes.
Une fonction associe à chaque nombre autorisé une unique image. En classe de 3e, il faut savoir reconnaître cette notion, utiliser le bon vocabulaire, calculer des images, déterminer des antécédents, représenter une fonction graphiquement et interpréter ses variations. Les fonctions affines occupent une place importante, car elles permettent de modéliser simplement de nombreuses situations : évolution d’un prix, distance parcourue, température, consommation ou vitesse. Maîtriser les fonctions, c’est donc acquérir un outil essentiel pour relier calcul, lecture graphique et résolution de problèmes.