Fonctions
Problématique — Comment définir, représenter et utiliser les fonctions pour modéliser des situations variées en 3e ?
- Comprendre la notion de fonction et le vocabulaire associé (image, antécédent, ensemble de définition).
- Calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée (tableau, formule ou graphique).
- Déterminer un antécédent à partir d’une équation ou d’un graphique.
- Représenter graphiquement une fonction simple (affine notamment).
- Lire et décrire les variations d’une fonction.
Partie 1 : Notion de fonction
Une fonction associe à chaque nombre x d’un ensemble donné (appelé ensemble de définition) un unique nombre noté f(x), appelé image de x.
Vocabulaire
- Antécédent : nombre de départ, la valeur de
x. - Image : résultat obtenu, la valeur de
f(x). - Ensemble de définition : tous les nombres pour lesquels la fonction est définie.
Pour la fonction f(x) = 2x + 3 :
On dit que « 11 est l’image de 4 par f » et que « 4 est un antécédent de 11 ».
Ensemble de définition : valeurs “interdites”
- Si une formule contient une division, on ne peut pas diviser par 0.
- Si une formule contient une racine carrée, on ne peut pas prendre la racine d’un nombre négatif (au collège).
f(x)=1/(x-2): interdit pourx=2⇒ ensemble de définition : tous les réels sauf2.g(x)=√(x-1): défini six-1 ≥ 0⇒x ≥ 1.
Remarque importante
Dans une fonction, à un même x on ne peut pas associer deux images différentes. Test graphique : si une droite verticale coupe la courbe en deux points, alors ce n’est pas une fonction.
- Une fonction = une règle de correspondance unique :
x → f(x). - On peut définir une fonction par une formule, un tableau de valeurs ou un graphique.
- L’ensemble de définition regroupe les x autorisés.
x donne une seule sortie f(x).Partie 2 : Calcul d’image et d’antécédent
1. Calcul d’image
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée par une formule, on remplace x par le nombre et on calcule.
Ex. : si f(x) = 3x − 5, alors :
2. Calcul d’antécédent
Pour trouver un antécédent de b, on résout l’équation f(x) = b.
Ex. : chercher l’antécédent de 4 par f(x) = 3x − 5 :
Donc 3 est un antécédent de 4.
Remarque — Selon la fonction, l’équation f(x)=b peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions (donc 0, 1 ou plusieurs antécédents).
| x | f(x) = 3x − 5 |
|---|---|
| 0 | −5 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 5 | 10 |
- Image → on calcule directement.
- Antécédent → on résout une équation.
- On peut aussi lire images et antécédents sur un graphique.
Partie 3 : Représentation graphique
Rappel
- La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points
(x ; f(x)). - On place plusieurs points (tableau) puis on relie : droite pour une fonction affine.
Lire une image sur un graphique
Pour lire f(a) :
- Repérer
asur l’axe horizontal. - Monter/descendre jusqu’à la courbe.
- Lire sur l’axe vertical : c’est
f(a).
Lire un antécédent sur un graphique
Pour trouver les antécédents de b :
- Repérer
bsur l’axe vertical. - Tracer horizontalement jusqu’à la courbe.
- Lire le(s)
xcorrespondant(s).
Tracer la droite d’équation y = 2x + 1 à partir d’un tableau (ou plus vite : avec 2 points).
Astuce — Pour y=ax+b, on peut placer (0;b) puis (1;a+b).
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| −1 | −1 |
- Le graphique donne des valeurs approchées.
- Pour
f(x)=ax+b, la courbe est une droite. - On peut lire images, antécédents et variations.
Partie 4 : Étude des variations
Définitions
- f est croissante si, quand
xaugmente,f(x)augmente. - f est décroissante si, quand
xaugmente,f(x)diminue. - f est constante si
f(x)ne change pas.
Cas des fonctions affines
- Si
f(x) = ax + baveca > 0, alors f est croissante. - Si
f(x) = ax + baveca < 0, alors f est décroissante. - Si
a = 0, alorsf(x)=bet la fonction est constante.
| Fonction affine | Signe de a | Variation |
|---|---|---|
| f(x) = ax + b | a > 0 | croissante |
| f(x) = ax + b | a < 0 | décroissante |
| f(x) = ax + b | a = 0 | constante |
Lire les variations sur un graphique
On observe la courbe de gauche à droite :
- si elle monte → croissante ;
- si elle descend → décroissante ;
- si elle est horizontale → constante.
- Les variations décrivent le comportement de la fonction.
- En 3e, on lit souvent les variations sur le graphique et on sait les relier au coefficient
apour les fonctions affines.
Une fonction associe à chaque nombre un seul résultat. On sait calculer des images, trouver des antécédents, représenter une fonction (notamment affine) et décrire ses variations. Ces outils servent à modéliser des situations de la vie courante (trajets, prix, températures…).
Aller plus loin : Quiz et exercices
Quiz — Fonctions : notions, vocabulaire & repérage
Définition, images/antécédents, ensemble de définition, unicité de l’image.
Quiz — Images, antécédents & graphiques (affines incluses)
Calculs par formule, lectures graphique, tracé rapide des affines.
Quiz — Fonctions : applications & variations
Problèmes, lecture graphique, croissante/décroissante/constante pour f(x)=ax+b.