Proportionnalité et fonctions
Problématique — Comment modéliser des situations de proportionnalité à l’aide de fonctions et interpréter leurs représentations graphiques ?
- Approfondir la notion de proportionnalité et son lien avec les fonctions.
- Reconnaître, modéliser et utiliser une fonction proportionnelle.
- Distinguer fonction proportionnelle et fonction affine.
- Tracer et interpréter les représentations graphiques (pente, ordonnée à l’origine).
Partie 1 : Fonction proportionnelle
Une fonction proportionnelle est une fonction définie par f(x) = k × x, où k est le coefficient de proportionnalité.
Propriétés
- Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine
(0;0). - Pour tout nombre
t, si on multipliexpart, alorsf(x)est multiplié part. - Le coefficient
kcorrespond à la pente de la droite. Pour une proportionnelle, on a aussik = f(1).
Tester la proportionnalité
- Méthode du coefficient : si
y = k × xavec le mêmekpour toutes les valeurs (et avecx ≠ 0quand on calculek = y ÷ x), la situation est proportionnelle. - Produit en croix : pour deux couples
(x₁, y₁)et(x₂, y₂), on vérifiex₁ × y₂ = x₂ × y₁.
f(x) = 4x : k = 4. Doubler x double f(x).
Table de prix proportionnels : 2 kg → 7 €, 5 kg → 17,50 € :
2 × 17,50 = 35 et 5 × 7 = 35 ⇒ proportionnel.
| x | f(x) = 2x | f(x) = 4x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 6 | 12 |
- Une fonction proportionnelle se note
f(x)=k x; sa droite passe par(0;0)et sa pente vautk.
k différentes.Partie 2 : Fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie par f(x) = a x + b, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine.
Propriétés
- Sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas forcément par l’origine.
- Toute fonction proportionnelle est un cas particulier de fonction affine avec
b = 0. - Interprétation de la pente : si
xaugmente de 1, alorsf(x)augmente dea.
f(x) = 3x + 2 : a = 3 (pente), b = 2 (valeur quand x=0).
g(x) = 0,05x + 10 modélise un coût : part fixe 10 et part variable 0,05 par unité de x.
| Type | Expression | Graphique | Paramètres |
|---|---|---|---|
| Proportionnelle | f(x) = kx |
Droite par (0;0) | k : pente (k=f(1)) |
| Affine | f(x) = ax + b |
Droite, passe par (0;b) |
a : pente ; b : ordonnée à l’origine |
- Une fonction affine modélise souvent une situation avec une partie fixe (
b) et une partie variable (liée àa).
a, ordonnées à l’origine b différentes.Partie 3 : Représentation graphique
Fonction proportionnelle
- Droite passant par
(0;0). - Pente égale au coefficient
k. - Deux points suffisent (ex.
(0;0)et(1;k)).
Fonction affine
- Droite de pente
a. - Elle coupe l’axe des ordonnées en
(0;b). - Pour tracer : placer
(0;b), puis utiliser la pente : sia=2, quandxaugmente de 1,yaugmente de 2.
Tracer f(x) = 2x et g(x) = 2x + 3 : même pente 2, mais g est décalée vers le haut de 3 (car g(0)=3).
| x | f(x) = 2x | g(x) = 2x + 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 6 | 9 |
- Par l’origine ⇒ proportionnelle ; passe par
(0;b)⇒ affine.
Partie 4 : Résolution de problèmes
Étapes
- Identifier la nature de la relation (proportionnelle ou affine).
- Écrire l’expression adaptée (
kxouax + b). - Calculer des valeurs (tableau, substitution).
- Interpréter : pente (variation) et ordonnée à l’origine (valeur quand
x=0).
Proportionnelle — Vitesse constante : d(x)=60x où x est en heures et d en km. En 2,5 h : d(2,5)=150 km.
Affine — Abonnement : f(x)=0,05x+10 où x est en minutes et f en euros. Pour 100 min : f(100)=15 €.
- Ces fonctions sont des outils de modélisation : part variable seule (proportionnelle) ou part fixe + variable (affine).
La fonction proportionnelle (f(x)=kx) est un cas particulier de la fonction affine (f(x)=ax+b) lorsque b=0. En 4e, on doit savoir les distinguer, les représenter graphiquement et les utiliser pour modéliser et résoudre des problèmes.