Proportionnalité et pourcentages
Problématique — Comment reconnaître et utiliser la proportionnalité pour résoudre des problèmes en 5e ? Comment calculer et interpréter des pourcentages ?
- Comprendre ce qu’est une situation de proportionnalité.
- Savoir utiliser et compléter un tableau de proportionnalité.
- Calculer un pourcentage d’une quantité, une augmentation et une réduction.
- Déterminer le pourcentage que représente une valeur par rapport à une autre.
- Résoudre des problèmes concrets (prix, remises, échelles…).
Partie 1 : La proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité (noté k).
Si 3 stylos coûtent 6 €, alors 6 stylos coûtent 12 € : on a doublé la quantité, le prix a doublé.
Ici, k = 6 ÷ 3 = 2 et on peut écrire 2 €/stylo.
Attention : le sens compte : prix = k × quantité donc k = prix ÷ quantité.
| Grandeur | Valeur 1 | Valeur 2 |
|---|---|---|
| Quantité de stylos | 3 | 6 |
| Prix (en €) | 6 | 12 |
Reconnaître une situation proportionnelle
- On peut multiplier une valeur par un même nombre pour obtenir la valeur correspondante.
- On peut diviser les valeurs correspondantes : on obtient toujours le même
k. - Produit en croix (tableau à 2 colonnes) : si c’est proportionnel, alors
a × d = b × c.
- Dans une situation proportionnelle, tout augmente ou diminue dans le même rapport.
k.Partie 2 : Calcul du coefficient de proportionnalité
Méthode 1 — par division
Si une grandeur x correspond à une grandeur y, alors :
k = y ÷ x
Ensuite, pour toute autre valeur x' : y' = k × x'.
Stylos : k = 6 ÷ 3 = 2. Pour 10 stylos : prix = 2 × 10 = 20 €.
Méthode 2 — par passage à l’unité
On commence par trouver la valeur pour 1 unité, puis on multiplie.
Ex. : 3 stylos → 6 € donc 1 stylo → 6 ÷ 3 = 2 €, puis 5 stylos → 2 × 5 = 10 €.
| Ce qu’on cherche | Formule | Exemple |
|---|---|---|
Coefficient k |
k = valeur_2 ÷ valeur_1 |
k = 6 ÷ 3 = 2 |
| Valeur manquante | valeur = k × (autre valeur) |
prix = 2 × 6 = 12 |
- Le coefficient permet de compléter rapidement un tableau.
- On doit savoir aller et retour : trouver
ket l’utiliser.
Partie 3 : Les pourcentages
Un pourcentage est une proportion sur 100. 25 % signifie « 25 sur 100 ».
- 10 % = diviser par 10
- 1 % = diviser par 100
- 5 % = la moitié de 10 %
- 25 % =
1/4; 50 % =1/2
Calculer un pourcentage d’une quantité
Pour calculer x % d’une quantité Q :
x % de Q = Q × (x ÷ 100)
- 25 % de 80 :
80 × 25 ÷ 100 = 20. - 10 % de 50 :
50 × 10 ÷ 100 = 5.
Augmenter / réduire d’un pourcentage
On utilise un coefficient multiplicateur.
- Augmenter de
x %:nouveau = Q × (1 + x ÷ 100) - Réduire de
x %:nouveau = Q × (1 − x ÷ 100)
Réduction de 15 % sur 80 € :
- méthode 1 : réduction
= 80 × 0,15 = 12donc prix final= 80 − 12 = 68 €. - méthode 2 : prix final
= 80 × 0,85 = 68 €.
Trouver le pourcentage d’une valeur
Si une partie vaut P et le total vaut T, alors :
pourcentage = (P ÷ T) × 100
Ex. : dans une classe de 24 élèves, 6 sont demi-pensionnaires : (6 ÷ 24) × 100 = 25 %.
| Situation | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Calculer x % d’une quantité Q | Q × (x ÷ 100) |
25 % de 80 → 20 |
| Augmenter de x % | Q × (1 + x ÷ 100) |
50 × 1,10 = 55 |
| Réduire de x % | Q × (1 − x ÷ 100) |
80 × 0,85 = 68 |
| Trouver le pourcentage | (partie ÷ total) × 100 |
(6 ÷ 24) × 100 = 25 % |
- Un pourcentage est une proportion sur 100.
- On sait calculer un %, augmenter, réduire, et retrouver le % d’une partie.
Partie 4 : Résolution de problèmes avec proportionnalité et pourcentages
Démarche
- Identifier : proportionnalité (prix/quantité, recette, vitesse, échelle) ou pourcentage (remise, part d’un groupe).
- Choisir l’outil : tableau / passage à l’unité / formule de %.
- Calculer avec la bonne méthode.
- Vérifier : réduction → plus petit ; augmentation → plus grand ; ordre de grandeur cohérent.
1. Proportionnalité : 12 kg de pommes coûtent 18 €. Combien pour 5 kg ? k = 18 ÷ 12 = 1,5 €/kg, donc 5 × 1,5 = 7,5 €.
2. Réduction : 15 % sur 80 € → 80 × 0,85 = 68 €.
3. Part d’un groupe : 9 élèves sur 30 → (9 ÷ 30) × 100 = 30 %.
- Beaucoup de problèmes reviennent à : proportionnalité ou pourcentage.
La proportionnalité relie deux grandeurs par un coefficient constant k. Les pourcentages sont des proportions sur 100. En 5e, il faut maîtriser : reconnaître la proportionnalité, trouver k, calculer un %, appliquer une augmentation/réduction (coefficient multiplicateur) et vérifier la cohérence du résultat.