Proportionnalité et fonctions
Problématique — Comment modéliser des situations de proportionnalité à l’aide de fonctions et interpréter leurs représentations graphiques ?
- Comprendre le lien entre proportionnalité et fonctions.
- Reconnaître et utiliser une fonction proportionnelle.
- Distinguer une fonction proportionnelle d’une fonction affine.
- Savoir lire, compléter et interpréter un tableau de valeurs.
- Tracer et exploiter les représentations graphiques de ces fonctions.
- Résoudre des problèmes concrets à l’aide de ces modèles.
- Une fonction proportionnelle s’écrit
f(x)=kxet sa droite passe par(0;0). - Une fonction affine s’écrit
f(x)=ax+bet sa droite passe par(0;b). - La fonction proportionnelle est un cas particulier de la fonction affine lorsque
b=0. - Le coefficient
kouacorrespond à la pente de la droite. - Le nombre
bcorrespond à l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur pourx=0.
Introduction
En mathématiques, une fonction permet d’associer à une valeur x une autre valeur notée f(x). En 5e, on étudie notamment deux types de fonctions très importantes : la fonction proportionnelle et la fonction affine.
Ces fonctions servent à modéliser de nombreuses situations de la vie courante : prix, distance, vitesse, abonnement, consommation, température, etc.
Modéliser une situation, c’est la traduire par une expression mathématique afin de mieux la comprendre, la représenter et faire des calculs.
- Les fonctions sont des outils qui permettent de relier deux grandeurs.
- En 5e, on doit savoir reconnaître si une situation est proportionnelle ou affine.
Partie 1 : Fonction proportionnelle
Une fonction proportionnelle est une fonction définie par f(x) = k × x, où k est le coefficient de proportionnalité.
Propriétés
- Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine
(0;0). - Le nombre
kdonne la variation de la fonction quandxvarie. - Pour une fonction proportionnelle, si on multiplie
xpar un nombre, alorsf(x)est multiplié par ce même nombre. - Le coefficient
kest aussi la pente de la droite. - On a également
k = f(1).
Interprétation concrète
Dans une situation de proportionnalité, il n’y a pas de valeur fixe au départ. Tout dépend directement de la quantité choisie.
Par exemple, si 1 kg de fruits coûte 3 €, alors 2 kg coûtent 6 €, 4 kg coûtent 12 € : le prix dépend directement de la masse achetée.
Tester la proportionnalité
- Méthode du coefficient : si
y = k × xavec le mêmekpour toutes les valeurs, alors la situation est proportionnelle. - Méthode du quotient : si le rapport
y ÷ xest toujours le même (pourx ≠ 0), alors la situation est proportionnelle. - Produit en croix : pour deux couples
(x₁, y₁)et(x₂, y₂), on vérifiex₁ × y₂ = x₂ × y₁. - Méthode graphique : la représentation d’une situation proportionnelle est une droite qui passe par
(0;0).
f(x) = 4x : k = 4. Si x double, alors f(x) double aussi.
Prix proportionnel : 2 kg → 7 €, 5 kg → 17,50 € :
7 ÷ 2 = 3,5 et 17,50 ÷ 5 = 3,5 ⇒ c’est proportionnel.
On peut aussi vérifier par produit en croix :
2 × 17,50 = 35 et 5 × 7 = 35 ⇒ proportionnel.
| x | f(x) = 2x | f(x) = 4x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 6 | 12 |
| 5 | 10 | 20 |
Pour reconnaître rapidement une fonction proportionnelle, on peut suivre les étapes suivantes :
- Vérifier si l’expression est de la forme
kx. - Vérifier si
f(0)=0. - Vérifier si la droite passe par l’origine
(0;0). - Si besoin, calculer le quotient
y ÷ xpour voir s’il reste constant.
- Une fonction proportionnelle se note
f(x)=kx. - Sa représentation est une droite qui passe par
(0;0). - Le coefficient
kest à la fois le coefficient de proportionnalité et la pente.
Partie 2 : Fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie par f(x) = a x + b, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine.
Propriétés
- Sa représentation graphique est une droite.
- Cette droite ne passe pas forcément par l’origine.
- Elle coupe l’axe des ordonnées au point
(0;b). - Le nombre
aindique la variation def(x)quandxaugmente de 1. - Le nombre
bcorrespond à la valeur de la fonction lorsquex = 0.
Interprétation concrète
Une fonction affine modélise souvent une situation avec :
- une part fixe : c’est
b; - une part variable : c’est
a x.
f(x) = 3x + 2 : a = 3 et b = 2. La droite coupe l’axe des ordonnées en 2.
g(x) = 0,05x + 10 modélise un coût : une part fixe de 10 € et une part variable de 0,05 € par unité de x.
Par exemple, pour x = 100, on obtient g(100)=0,05×100+10=15.
Lien entre fonction proportionnelle et fonction affine
Toute fonction proportionnelle est aussi une fonction affine, mais particulière.
Une fonction proportionnelle est un cas particulier de fonction affine pour lequel b = 0.
| Type | Expression | Graphique | Paramètres |
|---|---|---|---|
| Proportionnelle | f(x) = kx |
Droite par (0;0) | k : pente et coefficient |
| Affine | f(x) = ax + b |
Droite, passe par (0;b) |
a : pente ; b : ordonnée à l’origine |
Pour reconnaître une fonction affine, on peut suivre les étapes suivantes :
- Vérifier si l’expression est de la forme
ax+b. - Repérer la valeur de
b, qui correspond àf(0). - Observer si la droite coupe l’axe des ordonnées en
(0;b). - Vérifier si la situation possède une part fixe et une part variable.
- Une fonction affine se note
f(x)=ax+b. - Elle modélise souvent une situation avec part fixe + part variable.
- Si
b=0, alors la fonction affine devient une fonction proportionnelle.
Partie 3 : Distinguer fonction proportionnelle et fonction affine
Méthode rapide
- Regarder l’expression :
kx⇒ proportionnelleax+b⇒ affine
- Regarder la valeur pour x=0 :
- si
f(0)=0, cela peut être proportionnel ; - si
f(0)=bavecb ≠ 0, alors ce n’est pas proportionnel.
- si
- Regarder le graphique :
- droite passant par l’origine ⇒ proportionnelle ;
- droite ne passant pas par l’origine ⇒ affine non proportionnelle.
f(x)=5x est proportionnelle car il n’y a pas de terme ajouté et f(0)=0.
g(x)=5x+4 est affine mais non proportionnelle car g(0)=4.
- Toute droite n’est pas forcément une situation de proportionnalité.
- Une fonction affine peut avoir une droite qui monte ou qui descend, mais si elle ne passe pas par
(0;0), elle n’est pas proportionnelle. - Il ne faut pas confondre
aetb:acorrespond à la variation ;bcorrespond à la valeur de départ.
- Une fonction de la forme
axest affine et proportionnelle : ce n’est pas l’un ou l’autre, mais les deux. - Une droite parallèle à celle d’une fonction proportionnelle n’est pas forcément proportionnelle.
- Le critère le plus simple est le suivant : passe par l’origine ⇒ proportionnelle.
- Une fonction affine possède une ordonnée à l’origine égale à
b.
Partie 4 : Représentation graphique
Fonction proportionnelle
- Sa représentation est une droite passant par
(0;0). - Le coefficient
kdonne la pente. - Pour tracer cette droite, deux points suffisent, par exemple
(0;0)et(1;k).
Fonction affine
- Sa représentation est aussi une droite.
- Elle coupe l’axe des ordonnées en
(0;b). - On place d’abord
(0;b), puis on utilise la pentea. - Si
a=2, quandxaugmente de 1, alorsyaugmente de 2. - Si
a=-1, quandxaugmente de 1, alorsydiminue de 1.
Tracer f(x) = 2x et g(x) = 2x + 3 : ces deux fonctions ont la même pente 2. Leurs droites sont donc parallèles. Mais g est décalée vers le haut de 3 car g(0)=3.
| x | f(x) = 2x | g(x) = 2x + 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 8 | 11 |
Lecture graphique
- Lire l’ordonnée à l’origine revient à lire la valeur de la fonction pour
x=0. - Lire la pente consiste à observer de combien varie
yquandxaugmente de 1. - Une droite qui monte de gauche à droite a une pente positive.
- Une droite qui descend de gauche à droite a une pente négative.
Pour lire un graphique de fonction :
- Repérer si la droite passe par l’origine ou non.
- Lire le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
- Observer comment varie
ylorsquexaugmente de 1. - En déduire s’il s’agit d’une fonction proportionnelle ou affine.
- Par l’origine ⇒ fonction proportionnelle.
- Passe par
(0;b)avecb ≠ 0⇒ fonction affine non proportionnelle. - La pente décrit la façon dont la fonction varie.
Partie 5 : Résolution de problèmes
Méthode générale
- Identifier la nature de la relation : proportionnelle ou affine.
- Repérer les grandeurs en jeu et ce qu’elles représentent.
- Écrire l’expression adaptée :
kxouax + b. - Calculer les valeurs demandées.
- Interpréter le résultat dans le contexte du problème.
Proportionnelle — Vitesse constante : d(x)=60x où x est en heures et d en km. En 2,5 h : d(2,5)=150 km.
Affine — Abonnement : f(x)=0,05x+10 où x est en minutes et f en euros. Pour 100 min : f(100)=15 €.
Un taxi facture 4 € de prise en charge puis 2 € par kilomètre.
Si x est le nombre de kilomètres parcourus, alors le prix est donné par P(x)=2x+4.
Cette situation n’est pas proportionnelle, car même pour x=0, on paie déjà 4 €.
- Une situation avec un prix de départ, un abonnement ou des frais fixes n’est généralement pas proportionnelle.
- Il ne faut pas oublier d’interpréter le sens de
xet def(x)dans le problème. - Une bonne expression mathématique ne suffit pas : il faut aussi vérifier qu’elle correspond bien à la situation réelle.
- Les fonctions sont des outils de modélisation.
- La fonction proportionnelle modélise une variation seule.
- La fonction affine modélise une part fixe + une part variable.
La fonction proportionnelle (f(x)=kx) est un cas particulier de la fonction affine (f(x)=ax+b) lorsque b=0. En 5e, il faut savoir les reconnaître, les distinguer, compléter un tableau de valeurs, les représenter graphiquement et les utiliser pour modéliser des situations de la vie courante.