Nombres relatifs
Problématique — Comment comprendre et manipuler les nombres positifs et négatifs pour calculer et résoudre des problèmes ?
- Comprendre ce que sont les nombres relatifs et leur utilité.
- Savoir comparer et placer les nombres relatifs sur une droite graduée.
- Apprendre les additions, soustractions, multiplications et divisions avec des nombres relatifs.
- Résoudre des problèmes concrets utilisant les nombres relatifs.
- Maîtriser le vocabulaire et les règles associées aux nombres relatifs.
Partie 1 : Introduction aux nombres relatifs
Les nombres relatifs sont des nombres qui peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Ils permettent de représenter des situations où il y a une notion de gain et de perte, de montée et de descente, de températures au-dessus et au-dessous de zéro, etc.
Par exemple, si la température est de -3 °C, elle est inférieure à zéro. Si un joueur a perdu 5 points, cela s'écrit -5. Les nombres relatifs s'écrivent donc avec un signe + pour les positifs (souvent facultatif) et un signe - pour les négatifs.
La droite graduée et les nombres relatifs
On peut représenter les nombres relatifs sur une droite graduée où le zéro est un repère central. Les nombres positifs sont placés à droite de zéro, les nombres négatifs à gauche.
- Plus on se déplace vers la droite, plus les nombres sont grands.
- Plus on se déplace vers la gauche, plus les nombres sont petits (plus négatifs).
Les nombres relatifs sont une extension des nombres naturels qui permettent d'exprimer des quantités négatives ou des situations en dessous d'une référence, comme zéro. La droite graduée est un outil indispensable pour visualiser et comparer ces nombres. Comprendre leur écriture et leur placement est la base pour apprendre à les manipuler.
Partie 2 : Comparer et ordonner les nombres relatifs
Comparer deux nombres relatifs, c’est déterminer lequel est le plus grand ou le plus petit. Cette comparaison se fait grâce à leur position sur la droite graduée.
Un nombre est plus grand que l’autre s’il se trouve à droite sur la droite graduée. Il est plus petit s’il est situé à gauche.
Exemple : Comparons -4 et 2. Sur la droite graduée, -4 est à gauche de 0 et 2 à droite, donc 2 > -4.
Astuce pour comparer
- Tout nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif.
- Parmi deux nombres positifs, celui avec la plus grande valeur absolue est plus grand (ex : 5 > 3).
- Parmi deux nombres négatifs, celui qui a la plus petite valeur absolue est le plus grand (ex : -3 > -5).
Rappel : La valeur absolue d’un nombre relatif est la distance à zéro. Par exemple, la valeur absolue de -7 est 7, celle de +7 est aussi 7.
Comparer des nombres relatifs nécessite de bien comprendre leur position sur la droite graduée. Il est essentiel de retenir que les positifs sont toujours plus grands que les négatifs et que pour les négatifs, c’est l’inverse du sens habituel : plus on s’éloigne de zéro à gauche, plus le nombre est petit.
Partie 3 : Addition et soustraction de nombres relatifs
Additionner ou soustraire des nombres relatifs fait appel à des règles qui prennent en compte les signes des nombres.
Addition :
- Si les deux nombres ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde ce signe.
- Si les deux nombres ont des signes différents, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on garde le signe de celui qui a la valeur absolue la plus grande.
Exemples :
- +5 + +3 = +(5 + 3) = +8
- -7 + -2 = -(7 + 2) = -9
- +6 + (-4) = + (6 - 4) = +2
- -5 + (+8) = + (8 - 5) = +3
Soustraction : Soustraire un nombre revient à ajouter l’opposé de ce nombre.
Par exemple, 7 - (+3) = 7 + (-3) = 4 et 5 - (-2) = 5 + (+2) = 7.
Les opérations d’addition et de soustraction sont simplifiées grâce à la notion d’opposé : soustraire un nombre équivaut à ajouter son opposé. La compréhension des règles dépend de l’analyse des signes et des valeurs absolues et permet de calculer précisément en nombre relatif.
Partie 4 : Multiplication et division de nombres relatifs
Les règles pour multiplier ou diviser des nombres relatifs sont liées aux signes des nombres utilisés.
- Multiplication ou division de deux nombres de mêmes signes donne un résultat positif.
- Multiplication ou division de deux nombres de signes différents donne un résultat négatif.
Exemples :
- (+4) × (+3) = +12
- (-5) × (-2) = +10
- (+6) ÷ (-3) = -2
- (-8) ÷ (+4) = -2
Il faut multiplier ou diviser ensuite les valeurs absolues, puis appliquer le signe selon la règle ci-dessus.
La multiplication et la division avec des nombres relatifs s’appuient sur la notion de signes. La connaissance de ces règles est indispensable pour résoudre des calculs, en s’assurant d’abord de multiplier ou diviser les valeurs absolues, puis d’appliquer le signe correct selon les nombres. Cela permet aussi de vérifier et simplifier des expressions.
Partie 5 : Applications et problèmes avec les nombres relatifs
Les nombres relatifs sont utilisés dans de nombreuses situations concrètes : température, altitude, gains et pertes, dettes, etc. Savoir les manipuler permet de résoudre des problèmes variés.
Exemple :
Un plongeur est à 5 mètres sous le niveau de la mer (-5 m). Il descend de 3 mètres, puis remonte de 7 mètres. Quelle est sa position finale par rapport au niveau de la mer ?
Solution :
- Position initiale : -5 m
- Il descend de 3 m => ajout de -3 m : -5 + (-3) = -8 m
- Il remonte de 7 m => ajout de +7 m : -8 + 7 = -1 m
Le plongeur se trouve donc à 1 mètre sous le niveau de la mer après ses déplacements.
Autre problème :
Une température est de -2 °C le matin, elle baisse de 5 °C dans la nuit, puis remonte de 8 °C l’après-midi. Quelle est la température à la fin de la journée ?
Solution :
- Température initiale : -2 °C
- Baisse de 5 °C : -2 + (-5) = -7 °C
- Remontée de 8 °C : -7 + 8 = +1 °C
Les problèmes concrets permettent de comprendre l’utilité des nombres relatifs. La traduction des situations en calculs avec des nombres positifs et négatifs demande de bien repérer les changements et de choisir les bons signes. Cette étape est cruciale pour appliquer correctement les règles d’addition et de soustraction des nombres relatifs.
Les nombres relatifs sont une extension essentielle des nombres positifs qui permettent d’exprimer des quantités inférieures à une référence comme zéro. Leur compréhension passe par la maîtrise de la droite graduée, la comparaison, et surtout des règles spécifiques pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces règles sont fondamentales pour résoudre des problèmes dans des contextes variés, tant mathématiques que de la vie quotidienne. Une bonne maîtrise des nombres relatifs ouvre la voie à des notions plus avancées et constitue une base solide pour les futurs apprentissages en mathématiques.