Proporzionalità e funzioni
Problema — Come modellare situazioni di proporzionalità usando funzioni e interpretare le loro rappresentazioni grafiche?
- Comprendere il legame tra proporzionalità e funzioni.
- Riconoscere e utilizzare una funzione proporzionale.
- Differenziare una funzione proporzionale da una funzione affine.
- Saper leggere, completare e interpretare una tabella di valori.
- Tracciare e sfruttare le rappresentazioni grafiche di queste funzioni.
- Risolvere problemi concreti utilizzando questi modelli.
- Una funzione proporzionale si scrive
f(x)=kxe la sua retta passa per(0;0). - Una funzione affine si scrive
f(x)=ax+be la sua retta passa per(0;b). - La funzione proporzionale è un caso particolare della funzione affine quando
b=0. - Il coefficiente
koacorrisponde alla pendenza della retta. - Il numero
bcorrisponde all'ordinata all'origine, cioè al valore perx=0.
Introduzione
In matematica, una funzione permette di associare a un valore x un altro valore indicato come f(x). In 5ª, studiamo in particolare due tipi di funzioni molto importanti: la funzione proporzionale e la funzione affine.
Queste funzioni servono a modellare molte situazioni della vita quotidiana: prezzo, distanza, velocità, abbonamento, consumo, temperatura, ecc.
Modellare una situazione significa tradurla con un’espressione matematica per comprenderla meglio, rappresentarla e fare calcoli.
- Le funzioni sono strumenti che permettono di collegare due grandezze.
- In 5ª bisogna saper riconoscere se una situazione è proporzionale o affine.
Parte 1: Funzione proporzionale
Una funzione proporzionale è una funzione definita da f(x) = k × x, dove k è il coefficiente di proporzionalità.
Proprietà
- La sua rappresentazione grafica è una retta che passa per l’origine
(0;0). - Il numero
kindica la variazione della funzione al variare dix. - Per una funzione proporzionale, se moltiplichiamo
xper un numero, anchef(x)viene moltiplicato per lo stesso numero. - Il coefficiente
kè anche la pendenza della retta. - Si ha inoltre
k = f(1).
Interpretazione concreta
In una situazione di proporzionalità, non c’è valore fisso iniziale. Tutto dipende direttamente dalla quantità scelta.
Per esempio, se 1 kg di frutta costa 3 €, allora 2 kg costano 6 €, 4 kg 12 €: il prezzo dipende direttamente dalla massa acquistata.
Come testare la proporzionalità
- Metodo del coefficiente: se
y = k × xcon lo stessokper tutti i valori, allora la situazione è proporzionale. - Metodo del quoziente: se il rapporto
y ÷ xè sempre uguale (perx ≠ 0), allora è proporzionale. - Prodotto incrociato: per due coppie
(x₁, y₁)e(x₂, y₂), si verifica sex₁ × y₂ = x₂ × y₁. - Metodo grafico: la rappresentazione di una situazione proporzionale è una retta che passa per
(0;0).
f(x) = 4x: k = 4. Se x raddoppia, allora f(x) raddoppia anch’essa.
Prezzo proporzionale: 2 kg → 7 €, 5 kg → 17,50 €:
7 ÷ 2 = 3,5 e 17,50 ÷ 5 = 3,5 ⇒ è proporzionale.
Si può anche verificare con il prodotto incrociato:
2 × 17,50 = 35 e 5 × 7 = 35 ⇒ proporzionale.
| x | f(x) = 2x | f(x) = 4x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 6 | 12 |
| 5 | 10 | 20 |
Per riconoscere rapidamente una funzione proporzionale, si possono seguire questi passi:
- Verificare se l’espressione è della forma
kx. - Controllare se
f(0)=0. - Controllare se la retta passa per l’origine
(0;0). - Se necessario, calcolare il quoziente
y ÷ xper vedere se rimane costante.
- Una funzione proporzionale si scrive
f(x)=kx. - La sua rappresentazione è una retta che passa per
(0;0). - Il coefficiente
kè sia il coefficiente di proporzionalità che la pendenza.
Parte 2: Funzione affine
Una funzione affine è una funzione definita da f(x) = a x + b, dove a è la pendenza e b l’ordinata all’origine.
Proprietà
- La sua rappresentazione grafica è una retta.
- Questa retta non necessariamente passa per l’origine.
- Interseca l’asse delle ordinate nel punto
(0;b). - Il numero
aindica la variazione dif(x)quandoxaumenta di 1. - Il numero
bè il valore della funzione quandox=0.
Interpretazione concreta
Una funzione affine modellizza spesso una situazione con:
- una parte fissa: cioè
b; - una parte variabile: cioè
a x.
f(x) = 3x + 2: a = 3 e b = 2. La retta intercetta l’asse delle ordinate in 2.
g(x) = 0,05x + 10 modella un costo: una parte fissa di 10 € e una parte variabile di 0,05 € per ogni unità di x.
Per esempio, per x=100, si ha g(100)=0,05×100+10=15.
Relazione tra funzione proporzionale e funzione affine
Ogni funzione proporzionale è anche una funzione affine, ma particolare.
Una funzione proporzionale è un caso particolare di funzione affine in cui b=0.
| Tipo | Espressione | Grafico | Parametri |
|---|---|---|---|
| Proporzionale | f(x) = kx |
Retta attraverso (0;0) | k: pendenza e coefficiente |
| Affina | f(x) = ax + b |
Retta, passa per (0;b) |
a: pendenza; b: ordinata all’origine |
Per riconoscere una funzione affine, si possono seguire questi passi:
- Controllare se l’espressione è della forma
ax+b. - Individuare il valore di
b, corrispondente af(0). - Verificare se la retta interseca l’asse delle ordinate in
(0;b). - Verificare se la situazione presenta una parte fissa e una parte variabile.
- Una funzione affine si scrive
f(x)=ax+b. - Modellizza spesso una situazione con parte fissa + parte variabile.
- Se
b=0, la funzione affine diventa una funzione proporzionale.
Parte 3: Differenziare funzione proporzionale e funzione affine
Metodo rapido
- Guardare l’espressione:
kx⇒ proporzionaleax+b⇒ affine
- Verificare il valore per x=0:
- se
f(0)=0, può essere proporzionale; - se
f(0)=bconb ≠ 0, allora non è proporzionale.
- se
- Osservare il grafico:
- retta che passa per l’origine ⇒ proporzionale;
- retta che non passa per l’origine ⇒ affine non proporzionale.
f(x)=5x è proporzionale perché non c’è termine aggiunto e f(0)=0.
g(x)=5x+4 è affine ma non proporzionale perché g(0)=4.
- Non tutte le rette rappresentano necessariamente una situazione di proporzionalità.
- Una funzione affine può avere una retta crescente o decrescente, ma se non passa per
(0;0), non è proporzionale. - Non confondere
aeb:arappresenta la variazione;brappresenta il valore iniziale.
- Una funzione della forma
axè affine e proporzionale: non è l’uno o l’altro, ma entrambi. - Una retta parallela a quella di una funzione proporzionale non è necessariamente proporzionale.
- Il criterio più semplice è: passa per l’origine ⇒ proporzionale.
- Una funzione affine ha un ordinata all’origine uguale a
b.
Parte 4: Rappresentazione grafica
Funzione proporzionale
- La sua rappresentazione è una retta che passa per
(0;0). - Il coefficiente
kindica la pendenza. - Per tracciare questa retta sono sufficienti due punti, per esempio
(0;0)e(1;k).
Funzione affine
- Anche la sua rappresentazione è una retta.
- Interseca l’asse delle ordinate in
(0;b). - Si posiziona prima
(0;b), poi si usa la pendenzaa. - Se
a=2, quandoxaumenta di 1, allorayaumenta di 2. - Se
a=-1, quandoxaumenta di 1, alloraydiminuisce di 1.
Tracciare f(x) = 2x e g(x) = 2x + 3: queste due funzioni hanno la stessa pendenza 2. Le loro rette sono quindi parallele. Ma g è spostata verso l’alto di 3 perché g(0)=3.
| x | f(x) = 2x | g(x) = 2x + 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 8 | 11 |
Lettura grafica
- Leggere l’ordinata all’origine significa leggere il valore della funzione per
x=0. - Leggere la pendenza significa osservare di quanto varia
yquandoxaumenta di 1. - Una retta che sale da sinistra a destra ha pendenza positiva.
- Una retta che scende da sinistra a destra ha pendenza negativa.
Per leggere un grafico di funzione:
- Individuare se la retta passa per l’origine o meno.
- Leggere il punto in cui la retta taglia l’asse delle ordinate.
- Osservare come varia
yquandoxaumenta di 1. - Determinarne il tipo: funzione proporzionale o affine.
- Passa per l’origine ⇒ funzione proporzionale.
- Passa per
(0;b)conb ≠ 0⇒ funzione affine non proporzionale. - La pendenza descrive come varia la funzione.
Parte 5: Risoluzione di problemi
Metodo generale
- Identificare la natura della relazione: proporzionale o affine.
- Individuare le grandezze in gioco e cosa rappresentano.
- Scrivere l’espressione adatta:
kxoax + b. - Calcolare i valori richiesti.
- Interpretare il risultato nel contesto del problema.
Proporzionale — Velocità costante: d(x)=60x dove x è in ore e d in km. In 2,5 h: d(2,5)=150 km.
Affine — Abbonamento: f(x)=0,05x+10 dove x è in minuti e f in euro. Per 100 min: f(100)=15 €.
Un taxi fa pagare 4 € di presa in carico più 2 € per ogni chilometro.
Se x è il numero di chilometri percorsi, allora il prezzo è dato da P(x)=2x+4.
Questa situazione non è proporzionale, perché anche per x=0, si pagano già 4 €.
- Una situazione con un prezzo iniziale, un abbonamento o costi fissi generalmente non è proporzionale.
- Non bisogna dimenticare di interpretare il significato di
xef(x)nel problema. - Una buona espressione matematica non basta: bisogna anche verificare che corrisponda alla situazione reale.
- Le funzioni sono strumenti di modellazione.
- La funzione proporzionale modella una variazione pura.
- La funzione affine modella una parte fissa + una parte variabile.
La funzione proporzionale (f(x)=kx) è un caso particolare della funzione affine (f(x)=ax+b) quando b=0. In 5ª bisogna saperle riconoscere, distinguerle, completare una tabella di valori, rappresentarle graficamente e usarle per modellare situazioni quotidiane.