التناسب والدوال
السؤال المحوري — كيف يمكن نمذجة حالات التناسب باستخدام الدوال وتفسير تمثيلاتها البيانية؟
- فهم العلاقة بين التناسب والدوال.
- التعرف على الدالة التناسبية واستخدامها.
- تمييز الدالة التناسبية عن الدالة الخطية.
- معرفة كيفية قراءة واستكمال وتفسير جدول القيم.
- الرسم والاستفادة من التمثيلات البيانية لهذه الدوال.
- حل مشكلات واقعية باستخدام هذه النماذج.
- الدالة التناسبية تُكتب على شكل
f(x)=kxوخطها يمر عبر(0;0). - الدالة الخطية تُكتب على شكل
f(x)=ax+bوخطها يمر عبر(0;b). - الدالة التناسبية هي حالة خاصة من الدالة الخطية عندما يكون
b=0. - المعامل
kأوaيمثل ميل الخط. - العدد
bيمثل المقطع العرضي، أي القيمة عندx=0.
مقدمة
في الرياضيات، الدالة تسمح بربط قيمة x بقيمة أخرى نُرمز لها بf(x). في الصف الخامس، ندرس نوعين مهمين من الدوال: الدالة التناسبية والدالة الخطية.
تُستخدم هذه الدوال في نمذجة العديد من الحالات في الحياة اليومية مثل الأسعار، المسافة، السرعة، الاشتراك، الاستهلاك، درجة الحرارة، وغيرها.
نمذجة حالة هي ترجمتها إلى تعبير رياضي لفهمها وتمثيلها والقيام بالحسابات بشكل أفضل.
- الدوال أدوات تسمح بربط كميتين.
- في الصف الخامس، يجب معرفة كيفية التمييز إذا كانت الحالة تناسبية أو خطية.
الجزء 1: الدالة التناسبية
الدالة التناسبية هي دالة تُعرف بشكل f(x) = k × x حيث k هو معامل التناسب.
الخصائص
- تمثيلها البياني هو خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل
(0;0). - العدد
kيعطي معدل تغير الدالة عندما يتغيرx. - في دالة تناسبية، إذا ضُرب
xفي عدد معين، فإنf(x)يُضرب في نفس العدد. - المعامل
kهو أيضًا ميل الخط المستقيم. - كما أن
k = f(1).
التفسير العملي
في حالة التناسب، لا توجد قيمة ثابتة في البداية. كل شيء يعتمد مباشرة على الكمية المختارة.
مثلاً، إذا كان سعر 1 كغ من الفواكه هو 3€، فإن 2 كغ تكلف 6€، و4 كغ تكلف 12€: السعر يعتمد مباشرة على الوزن المشتري.
اختبار التناسب
- طريقة المعامل: إذا كان
y = k × xلنفس المعاملkلجميع القيم، فإن الحالة تناسبية. - طريقة القسمة: إذا كان حاصل القسمة
y ÷ xثابتًا دائمًا (لـx ≠ 0)، فالبيانات تناسبية. - قاعدة الضرب التبادلي: لزوجين
(x₁, y₁)و(x₂, y₂)، نتحقق من صدق العلاقةx₁ × y₂ = x₂ × y₁. - طريقة الرسم البياني: تمثيل الحالة التناسبية هو خط مستقيم يمر عبر
(0;0).
f(x) = 4x حيث k = 4. إذا تضاعف x، يتضاعف f(x) أيضاً.
سعر تناسبي: 2 كغ → 7 €، 5 كغ → 17,50 €:
7 ÷ 2 = 3,5 و 17,50 ÷ 5 = 3,5 ⇒ هذا تناسبي.
يمكن التأكد أيضًا باستخدام قاعدة الضرب التبادلي:
2 × 17,50 = 35 و 5 × 7 = 35 ⇒ تناسبي.
| x | f(x) = 2x | f(x) = 4x |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 6 | 12 |
| 5 | 10 | 20 |
للتعرف بسرعة على دالة تناسبية، يمكن اتباع الخطوات التالية:
- تأكد أن التعبير من الشكل
kx. - تأكد أن
f(0)=0. - تأكد أن الخط يمر عبر نقطة الأصل
(0;0). - إذا لزم الأمر، احسب حاصل القسمة
y ÷ xلترى إن كان ثابتًا.
- تُكتب الدالة التناسبية على شكل
f(x)=kx. - تمثيلها هو خط مستقيم يمر عبر
(0;0). - المعامل
kهو كل من معامل التناسب وميل الخط.
الجزء 2: الدالة الخطية
الدالة الخطية هي دالة تُعرف بf(x) = a x + b، حيث a هو ميل الخط وb هو المقطع العرضي.
الخصائص
- تمثيلها البياني هو خط مستقيم.
- هذا الخط لا يمر بالضرورة عبر نقطة الأصل.
- يقطع محور الصادات عند النقطة
(0;b). - عدد
aيعبر عن معدل تغيرf(x)عندما يزيدxبمقدار 1. - عدد
bهو قيمة الدالة عندماx = 0.
التفسير العملي
الدالة الخطية غالباً ما تمثل حالة بها:
- جزء ثابت: وهو
b; - وجزء متغير: وهو
a x.
f(x) = 3x + 2: حيث a = 3 وb = 2. الخط يقطع محور الصادات عند القيمة 2.
g(x) = 0,05x + 10 تمثل تكلفة: جزء ثابت 10€ وجزء متغير 0.05€ لكل وحدة من x.
مثلاً، لـ x = 100: نحصل على g(100)=0,05×100+10=15.
العلاقة بين الدالة التناسبية والدالة الخطية
كل دالة تناسبية هي أيضاً دالة خطية، لكنها حالة خاصة.
الدالة التناسبية هي حالة خاصة من الدالة الخطية حيث b = 0.
| النوع | التعبير | الرسم البياني | المعاملات |
|---|---|---|---|
| تناسبية | f(x) = kx |
خط مستقيم يمر عبر (0;0) | k: الميل والمعامل |
| خطية | f(x) = ax + b |
خط مستقيم يمر عبر (0;b) |
a: الميل؛ b: المقطع العرضي |
للتعرف على دالة خطية، يمكن اتباع الخطوات التالية:
- تأكد من أن التعبير شكله
ax+b. - حدد قيمة
b، التي تساويf(0). - لاحظ إذا كان الخط يقطع محور الصادات عند
(0;b). - تحقق مما إذا كانت الحالة تحتوي على جزء ثابت و جزء متغير.
- تُكتب الدالة الخطية بشكل
f(x)=ax+b. - غالبًا ما تمثل حالة تضم جزءًا ثابتًا وجزءًا متغيرًا.
- إذا كان
b=0، تتحول الدالة الخطية إلى دالة تناسبية.
الجزء 3: التمييز بين الدالة التناسبية والدالة الخطية
طريقة سريعة
- انظر إلى التعبير:
kx⇒ تناسبيةax+b⇒ خطية
- انظر إلى القيمة عند x=0:
- إذا كان
f(0)=0، فقد تكون تناسبية؛ - إذا كان
f(0)=bمعb ≠ 0، فهي ليست تناسبية.
- إذا كان
- انظر إلى الرسم البياني:
- خط يمر عبر الأصل ⇒ تناسبية؛
- خط لا يمر عبر الأصل ⇒ خطية وغير تناسبية.
f(x)=5x هي تناسبية لأن ليس بها حد ثابت وf(0)=0.
g(x)=5x+4 هي خطية وليست تناسبية لأن g(0)=4.
- لا يكون كل خط مستقيم دائمًا حالة تناسب.
- دالة خطية قد يكون لها خط يصعد أو ينزل، لكن إذا لم يمر عبر
(0;0)، فهي ليست تناسبية. - لا تخلط بين
aوb:aيعبر عن التغيير؛bهو القيمة الابتدائية.
- دالة على شكل
axهي خطية وتناسبية معاً. - خط موازٍ لخط دالة تناسبية ليس بالضرورة تناسبيًا.
- القاعدة الأبسط: الخط الذي يمر عبر الأصل ⇒ تناسبي.
- الدالة الخطية لها مقطع عرضي يساوي
b.
الجزء 4: التمثيل البياني
الدالة التناسبية
- تمثيلها خط مستقيم يمر عبر
(0;0). - المعامل
kيمثل الميل. - لرسم الخط، نقطتان تكفيان مثل
(0;0)و(1;k).
الدالة الخطية
- تمثيلها أيضاً خط مستقيم.
- يقطع محور الصادات عند
(0;b). - ضع النقطة
(0;b)أولاً، ثم استخدم الميلa. - إذا كان
a=2، عندما يزيدxبمقدار 1، يزيدyبمقدار 2. - إذا كان
a=-1، عند زيادةxبمقدار 1، ينقصyبمقدار 1.
رسم f(x) = 2x وg(x) = 2x + 3: كلا الدالتين لهما نفس الميل 2. لذا خطوطهما متوازية لكن g مرفوعة بمقدار 3 لأن g(0)=3.
| x | f(x) = 2x | g(x) = 2x + 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 8 | 11 |
قراءة الرسم البياني
- قراءة المقطع العرضي تعني قراءة قيمة الدالة عند
x=0. - قراءة الميل تعني ملاحظة التغير في
yعندما يزيدxبمقدار 1. - الخط الذي يصعد من اليسار إلى اليمين له ميل موجب.
- الخط الذي ينخفض من اليسار إلى اليمين له ميل سالب.
لقراءة الرسم البياني لدالة:
- تحديد ما إذا كان الخط يمر عبر الأصل أم لا.
- قراءة النقطة التي يقطع فيها الخط محور الصادات.
- ملاحظة كيف يتغير
yعندما يزيدxبمقدار 1. - تحديد ما إذا كانت الدالة تناسبية أو خطية.
- الخط الذي يمر عبر الأصل ⇒ دالة تناسبية.
- الخط الذي يمر عبر
(0;b)معb ≠ 0⇒ دالة خطية غير تناسبية. - الميل يصف كيفية تغير الدالة.
الجزء 5: حل المشكلات
الطريقة العامة
- تحديد نوع العلاقة: تناسبية أو خطية.
- تحديد الكميات المعنية وما تمثله.
- كتابة التعبير المناسب:
kxأوax + b. - حساب القيم المطلوبة.
- تفسير النتيجة ضمن سياق المشكلة.
تناسبية — سرعة ثابتة: d(x)=60x حيث x بالساعات وd بالكيلومترات. في 2.5 ساعة: d(2,5)=150 كم.
خطية — اشتراك: f(x)=0,05x+10 حيث x بالدقائق وf باليورو. لـ 100 دقيقة: f(100)=15€.
سيارة أجرة تفرض 4€ مقابل فتح العداد ثم 2€ عن كل كيلومتر.
إذا كان x عدد الكيلومترات المقطوعة، فالسعر يُعطى بـ P(x)=2x+4.
هذه الحالة ليست تناسبية، إذ حتى عند x=0، السداد يبدأ بـ 4€.
- الحالة التي تحتوي على ثمن انطلاق أو اشتراك أو رسوم ثابتة عادةً ليست تناسبية.
- يجب تفسير معنى
xوf(x)في المسألة بشكل صحيح. - تعبير رياضي جيد غير كاف، يجب التأكد من توافقه مع الواقع.
- الدوال هي أدوات للنمذجة.
- الدالة التناسبية تمثل تغيرًا وحيدًا.
- الدالة الخطية تمثل جزءًا ثابتًا وجزءًا متغيرًا.
الدالة التناسبية (f(x)=kx) هي حالة خاصة من الدالة الخطية (f(x)=ax+b) عندما يكون b=0. في الصف الخامس، يجب أن تعرف كيفية التعرف عليهما، التمييز بينهما، استكمال جداول القيم، تمثيلهما بيانيًا، واستخدامهما في نمذجة مواقف الحياة الواقعية.