الدوال
المشكلة — كيف نُعرّف، نُمثّل، ونستخدم الدوال لنمذجة حالات متنوعة في الصف التاسع؟
- فهم مفهوم الدالة والمصطلحات المرتبطة بها: الصورة، السابق، مجموعة التعريف.
- حساب صورة عدد معطى عبر صيغة، جدول أو تمثيل بياني.
- تحديد واحد أو عدة سابقات لعدد معين.
- تمثيل دالة بسيطة بيانياً، خاصة الدالة التابعية.
- قراءة وتفسير تغيرات دالة ما.
الجزء 1: مفهوم الدالة
الدالة ترتبط بكل عدد x من مجموعة معينة تُسمى مجموعة التعريف، بعدد وحيد نُرمز له بـ f(x). وهذا العدد يسمى صورة العدد x بواسطة الدالة f.
المصطلحات
- السابق: العدد الابتدائي، وهو قيمة
x. - الصورة: النتيجة المحصل عليها، أي قيمة
f(x). - مجموعة التعريف: مجموعة كل قيم
xالتي تُعرف عليها الدالة.
لدالة f(x) = 2x + 3:
نقول أن 11 هي صورة العدد 4 بالنسبة للدالة f. كما يمكننا القول أن 4 هو سابق للعدد 11 لهذه الدالة.
مجموعة التعريف: القيم الممنوعة
- إذا احتوت الصيغة على قسمة، فلا يمكن القسمة على الصفر.
- إذا احتوت الصيغة على جذر تربيعي، فلا يمكن حساب جذره لعدد سالب في نطاق الصفوف الإعدادية.
f(x)=1/(x-2): هذه الدالة غير معرفة عندx=2لأن القسمة على صفر غير ممكنة. إذن، مجموعة التعريف هي كل الأعداد الحقيقية ما عدا2.g(x)=√(x-1): هذه الدالة معرفة فقط إذا كانx-1 ≥ 0أي إذا كانx ≥ 1.
ملاحظة مهمة
في الدالة، لكل قيمة من x، لا يمكن أن يكون لها سوى صورة واحدة فقط. هذه قاعدة أساسية. بيانياً، هذا يعني أنه إذا قطع خط عمودي المنحنى في نقاط متعددة، فالمنحنى لا يمثل دالة.
الدالة هي علاقة رياضية دقيقة: لكل قيمة مسموح بها من x، ترتبط بقيمة وحيدة f(x). لفهم الدوال جيدًا، يجب إتقان المصطلحات الأساسية: الصورة، السابق، ومجموعة التعريف. كما يجب القدرة على تحديد القيم الممنوعة في بعض التعابير. هذه الخطوة الأولى ضرورية كأساس لكل الحسابات، التمثيلات البيانية، ودراسة التغيرات فيما بعد من الدرس.
الجزء 2: حساب الصورة والسابق
1. حساب الصورة
لحساب صورة عدد بواسطة دالة معطاة بصيغة، نقوم باستبدال x بالقيمة المختارة، ثم نقوم بالحسابات بالترتيب المعتاد.
مثال: إذا كانت f(x) = 3x − 5، إذًا:
2. حساب السابق
لإيجاد سابق لعدد b، نبحث عن قيمة/قيم x التي تحقق المعادلة f(x)=b. وهذه تعادل حل معادلة.
مثال: إيجاد سابق العدد 4 عبر الدالة f(x) = 3x − 5 :
إذًا 3 هو سابق للعدد 4 بالنسبة للدالة f.
ملاحظة — حسب الدالة، معادلة f(x)=b قد لا يكون لها حلول، أو حل واحد فقط، أو عدة حلول. وهذا يعني أن العدد قد يكون له 0، 1، أو عدة سابقات.
| x | f(x) = 3x − 5 |
|---|---|
| 0 | −5 |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
| 5 | 10 |
حساب الصورة والبحث عن السابق هما عمليتان مختلفتان. لحساب الصورة، نبدأ بقيمة x ونحسب مباشرة النتيجة. للبحث عن السابق، نبدأ بالنتيجة ونجد القيمة أو القيم الأصلية. هذه المهارات أساسية في الصف التاسع، حيث تساعد على فهم معنى الدالة، الربط بين الحساب والمعادلة، وربط ذلك بقراءة الجداول أو الرسوم البيانية.
الجزء 3: التمثيل البياني
تذكير
- التمثيل البياني للدالة هو مجموعة النقاط ذات الإحداثيات
(x ; f(x)). - يمكن بناء هذا التمثيل بحساب صور عدة نقاط، ثم رسم تلك النقاط.
- بالنسبة للدالة التابعية، يكون التمثيل البياني خطًا مستقيمًا.
قراءة صورة من رسم بياني
لقراءة f(a) على الرسم البياني:
- تحديد القيمة
aعلى المحور الأفقي. - رسم خط عمودي تخيلي أو باستخدام المسطرة حتى التقاطع مع المنحنى.
- قراءة القيمة على المحور العمودي؛ هذه هي صورة
a.
قراءة سابق من رسم بياني
لإيجاد السابقات لعدد b:
- تحديد
bعلى المحور العمودي. - رسم خط أفقي حتى التقاطع مع المنحنى.
- قراءة القيم أو القيمة المقابلة(القيم) على المحور الأفقي (
x).
لرسم الخط ذو المعادلة y = 2x + 1، يمكن البدء بحساب بعض القيم في جدول.
ملاحظة — في الدالة التابعية y=ax+b، يمكن وضع النقطة (0 ; b) بسرعة، ثم نقطة ثانية مثل (1 ; a+b).
| x | y = 2x + 1 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| −1 | −1 |
التمثيل البياني للدالة يتيح رؤية سلوكها. غالبًا ما يعطينا قيم تقريبية لكنه مفيد جدًا لقراءة الصور والسابقات بسرعة أو لفهم تطور حالة ما. في حالة الدوال التابعية، المنحنى يكون خطًا مستقيمًا مما يبسط الدراسة. القدرة على الانتقال من صيغة إلى جدول ثم إلى رسم بياني مهارة أساسية في البرنامج الدراسي للصف التاسع.
الجزء 4: دراسة التغيرات
تعريفات
- الدالة تزداد إذا، كلما زادت قيمة
x، زادت قيمةf(x). - الدالة تنقص إذا، كلما زادت قيمة
x، قلت قيمةf(x). - الدالة ثابتة إذا لم تتغير قيمة
f(x)عندما يتغيرx.
حالة الدوال التتابعية
- إذا كانت
f(x) = ax + bحيثa > 0، فإن الدالة تزداد. - إذا كانت
f(x) = ax + bحيثa < 0، فإن الدالة تنقص. - إذا كان
a = 0، إذنf(x)=bوالدالة ثابتة.
| الدالة التابعية | علامة a | التغير |
|---|---|---|
| f(x) = ax + b | a > 0 | تزداد |
| f(x) = ax + b | a < 0 | تنقص |
| f(x) = ax + b | a = 0 | ثابتة |
قراءة التغيرات على رسم بياني
لدراسة التغيرات، ننظر إلى المنحنى من اليسار إلى اليمين:
- إذا كان صاعدًا، تكون الدالة متزايدة.
- إذا كان هابطًا، تكون الدالة متناقصة.
- إذا كان أفقيًا، تكون الدالة ثابتة.
التغيرات تصف كيف تتطور الدالة مع تغيّر قيمة x. تساعد على معرفة ما إذا كانت كمية ما تزيد، تنقص، أو تبقى مستقرة. في الصف التاسع، هذا المفهوم مهم جدًا لتفسير رسم بياني وفهم الدوال التابعية. المعامل a يحدد مباشرة اتجاه التغير: موجب للدالة المتزايدة، سالب للمتناقصة، وصفر للدالة الثابتة. هذا الفهم يعطي معنى للنماذج الرياضية المستخدمة في الحالات الواقعية.
الدالة تربط بكل عدد مسموح به صورة وحيدة. في الصف التاسع، يجب معرفة هذا المفهوم، استخدام المصطلحات الصحيحة، حساب الصور، تحديد السابقات، التمثيل البياني للدوال، وتفسير التغيرات. الدوال التابعية مهمة لأنها تسمح بنمذجة العديد من الحالات بسهولة: تطور الأسعار، المسافات، درجات الحرارة، الاستهلاك، أو السرعة. إتقان الدوال يعني اكتساب أداة أساسية لربط الحسابات، القراءة البيانية، وحل المشكلات.